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A região delimitada pelos gráficos de f(x) = [tex3]x^{\frac{1}{n}}[/tex3] e g(x) = [tex3]x^{n}[/tex3] ,
para algum [tex3]n\geq 1[/tex3] , tem área [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] . Então, n vale:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Alguem sabe?

bom eu acho que e desse jeito

temos $f(x)=x^{\frac{1}{n}},g(x)=x^n,n\ge1$ .
podemos observar que $f(x)=g(x)$ para $x=0$ e $x=1$ , sendo que para $0\le x\le 1$ temos $x^n\le x\le x^{\frac{1}{n}}\Rightarrow g(x)\le x\le f(x)$ , como exemplificado no gráfico abaixo ( $n=3$ )

: unga, f(x) vermelha, x a linha tracejada, g(x) laranja; pudim.png (11.39 KiB) Exibido 387 vezes

logo a área da região e dada por
$A=\int\limits_{0}^{1}f(x)-g(x)dx\\ A=\int\limits_{0}^{1}x^{\frac{1}{n}}-x^{n}dx\\ A=\int\limits_{0}^{1}x^{\frac{1}{n}}dx-\int\limits_{0}^{1}x^{n}dx\\ A=\frac{x^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1}\bigg|_{0}^{1}-\frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg|_{0}^{1}\\ A=\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\frac{1+n}{n}}-\frac{1}{n+1}\\ A=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n+1}\\ A=\frac{n-1}{n+1}$
como e dado que a area vale $\frac{2}{3}$ temos
$\frac{2}{3}=\frac{n-1}{n+1}\\ 2n+2=3n-3\\ 3n-2n=2+3\\ n=5$
portanto temos $n=5$

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Calculo da área

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Re: Calculo da área

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