Estude! Com Prof. Caju

Sejam $x=e^{i\alpha },y = e^{i\theta$ e $z=e^{i \beta }$ e $x+y+z = 0$ então qual das alternativas a seguir não é correta:

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

b) $xy+yz+zx=0$

c) $x^2+y^2+z^2=1$

d) $x^3+y^3+z^3=3xyz$

Resposta

C)

Olá Ittalo25,

Fiquei um tempo pensando neste problema, aí vai ...
$e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\theta}=0$
$1+e^{i\beta-i\alpha}+e^{i\theta-i\alpha}=0$
Pegando a parte imaginária, temos,
$\begin{cases} \cos (\beta - \alpha) +\cos (\theta - \alpha)=-1 \ (I) \\ \sin (\beta - \alpha)+\sin (\theta - \alpha)=0 \ (II) \end{cases}$
De (II) vem
$\beta - \alpha=-\theta + \alpha \ \ ou\ \ \beta - \alpha= \pi+\theta - \alpha$
Se $\beta - \alpha= \pi+\theta - \alpha$ , em (I) implica $0=-1$ , logo
$\boxed{\beta - \alpha=-\theta + \alpha}$ é solução
E de (II) temos,
$\cos (\theta - \alpha)=-\frac{1}{2} \implies \theta - \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \ \ k \in \mathRR{Z}$
Quando $k =0 \implies \theta - \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}$

$1+e^{2i\beta-2i\alpha}+e^{2i\theta-2i\alpha}=0 \iff e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}=0$
O resto é trivial, pois
$e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}=(\underbrace{e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\theta}}_{0})^2-2(e^{i\alpha}e^{i\beta}+e^{i\theta}e^{i\beta}+e^{i\alpha}e^{i\theta})=$
$=-2e^{i\alpha+i\beta+i\theta}\left(\frac{1}{e^{i\alpha}}+\frac{1}{e^{i\beta}}+\frac{1}{e^{i\theta}}\right)=0$

$e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}\neq 1$

d) Verdadeira.
Todas as somas das colunas e linhas resultam em 0, logo o determinante vale 0.
$\begin{vmatrix} e^{i\alpha} & e^{i\beta} & e^{i\theta}\\ e^{i\beta} & e^{i\theta} & e^{i\alpha}\\ e^{i\theta} & e^{i\alpha} & e^{i\beta} \end{vmatrix}=0$
$\boxed{e^{3i\alpha}+e^{3i\beta}+e^{3i\theta}-3e^{i\alpha}e^{i\beta}e^{i\theta}=0}$
Abraço !

Estude! Com Prof. Caju

(Instituto de Tecnologia de Illinois) Números Complexos

(Instituto de Tecnologia de Illinois) Números Complexos

Re: (Instituto de Tecnologia de Illinois) Números Complexos