Condições de continuidade em um ponto x=[tex3]x_{0}[/tex3]
I) [tex3]\exists f(x_{0})[/tex3]
II) [tex3]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)[/tex3]
III) [tex3]\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})[/tex3]
Para a questão, teremos:
I) f(2)=3 (Existe)
II) Verificar se existe o limite no ponto x=2. Caso exista, os limites laterais pela esquerda e pela direita do ponto devem ser iguais. Caso contrário, não existe limite no ponto.
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=5[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)[/tex3]
, então não existe limite no ponto x=2.
Isso caracteriza uma descontinuidade de 1ª espécie.
Verificando diferenciabilidade:
=\begin{cases}2\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ 2x\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f'(x)=\begin{cases}2\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ 2x\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)=2[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)=4[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)[/tex3]
, então a função não é diferenciável em x=2, como o enunciado afirmava.
Isso me leva a crer que a função deveria ser:
=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2+1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2+1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=5[/tex3]
, então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=5[/tex3]
que seria igual a f(2). A função seria contínua em x=2.
Ou:
=\begin{cases}2x-1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x-1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3]
, então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3[/tex3]
que também seria igual a f(2). Assim, a função seria contínua em x=2. A análise da diferenciabilidade seria a mesma para a função do "enunciado".
=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")