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Resolva a equação:

$\sqrt[m]{(1+x)^2}-\sqrt[m]{(1-x)^2}=\sqrt[m]{1-x^2}$

Apenas melhorando a solução, tentando seguir as dicas do professor Caju!

$\sqrt[m]{(1+x)^2}-\sqrt[m]{(1-x)^2}=\sqrt[m]{1-x^2}$

Dividindo toda a equação por $\sqrt[m]{1-x^2}$ e lembrando que $\left(1-x^2\right)=(1-x) \cdot (1+x)$

$\sqrt[m]{\frac{\left(1+x\right)^2}{(1-x^2)}}-\sqrt[m]{\frac{\left(1-x\right)^2}{(1-x^2)}}=\sqrt[m]{\frac{(1-x^2)}{(1-x^2) }}$

$\sqrt[m]{\frac{\left(1+x\right)\cdot \left(1+x\right)}{(1-x) \cdot (1+x))}}-\sqrt[m]{\frac{\left(1-x\right)\cdot \left(1-x\right)}{(1-x) \cdot (1+x))}}=\sqrt[m]{\frac{(1-x)\cdot (1+x)}{(1-x) \cdot(1+x)}}$

$\sqrt[m]{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt[m]{\frac{1-x}{1+x}}=1$
$\sqrt[m]{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt[m]{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}}=1$

Fazendo $\sqrt[m]{\frac{1+x}{1-x}}=k$
$k-k^{-1}=1$
$k-\frac{1}{k}=1$
$k^2-k-1=0$

Resolvendo, obtemos:
$k=\frac{1+\sqrt5}{2}$

A outra raiz é $\frac{1-\sqrt5}{2}$ que é um número menor que zero e não pode ser solução de $k$
para $m$ par.

$\sqrt[m]{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1+\sqrt5}{2}$
$\frac{1+x}{1-x}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^m$
$2^m+x \cdot 2^m=\left(1+\sqrt5\right)^m-x \cdot \left(1+\sqrt5\right)^m$
$x \cdot 2^m+x \cdot \left(1+\sqrt5\right)^m=\left(1+\sqrt5\right)^m-2^m$
$x \cdot \left[2^m+\left(1+\sqrt5\right)^m\right]=\left(1+\sqrt5\right)^m-2^m$
$x=\frac{\left(1+\sqrt5\right)^m-2^m}{2^m+\left(1+\sqrt5\right)^m}$

Espero ter ajudado!

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Equação irracional

Equação irracional

Re: Equação irracional