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Resolver, fornecendo todas as raízes da equação:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^{x} - 56 = 0[/tex3]

Uma das raízes é igual a [tex3]2[/tex3] .
Haverá outras raízes? Reais ou imaginárias?

“E o testemunho é este: Que Deus nos deu a vida eterna, e esta vida está em seu Filho. Quem tem o Filho tem a vida; quem não tem o Filho de Deus não tem a vida.” – 1ª João 5:11-12

Olá, Ivo.
Segundo O Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine, parece que a raiz é apenas uma, com um valor ligeiramente superior a 2.
Veja o gráfico e solução abaixo.

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Abraço

Boa noite, Olgario.

Eu tinha chegado a essa conclusão pelo Wolfram.
Aliás, o primeiro termo é um potência em vez de um produto: [tex3]2^{sqrt(x+7)}[/tex3]
Colocando o primeiro termo como uma potência, a solução é exatamente 2.
Entretanto, estava esperando um tipo de resolução pelos caminhos normais da matemática.
Será que teria algum? Além da resolução pelo Wolfram?

Olá Ivo, bom dia.

De facto não me apercebi de que o primeiro termo era uma potência. Por coincidência os gráficos são praticamente iguais e o valor da variável difere apenas em mais 0,02931 para além do 2.
Mas falando da equação exponencial correcta, [tex3]2^{\sqrt{x+7}}+3\cdot4^x-56=0[/tex3] , devo dizer-lhe que tenho novidades.
O problema até nem é muito difícil, o que nos falta por vezes é o conhecimento das regras matemáticas adequadas a cada caso, o que nos conduz, com a prática, a uma certa intuição perante os problemas.
Mas vamos lá.

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x-56 = 0[/tex3] ---> Colocando [tex3]-56[/tex3] para o 2º membro, temos:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x =56[/tex3] . ----> Note que as duas parcelas do 1º membro são potências de base [tex3]2[/tex3] . [tex3]2^{\sqrt{x+7}}[/tex3] , e [tex3]3\cdot 4^x[/tex3] sendo [tex3]4^x = (2^2)^x = 2^{2x}[/tex3] . Então poderemos transformar o [tex3]56[/tex3] numa soma de dois factores que também sejam, no fim, uma potência de [tex3]2[/tex3] . E foi aqui que nos faltou a tal intuição.
Assim, poderemos fazer [tex3]56 = 8 + 48[/tex3] . ---> Note que o [tex3]8[/tex3] é uma potência de [tex3]2[/tex3] directa, pois [tex3]8 = 2^3[/tex3] , e [tex3]48[/tex3] , no fim, ao ser comparado com [tex3]3\cdot 4^x[/tex3] , vão se transformar numa potência de [tex3]2[/tex3] , pois: [tex3]3\cdot 4^x = 48\;\, \longrightarrow\;\,4^x = \frac{48}{3}\;\,\longrightarrow\;\,4^x =16[/tex3] ---> Note que [tex3]16[/tex3] é uma potência de [tex3]2[/tex3] .
Assim, fazemos:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}}= 8[/tex3] . (I)
e
[tex3]3\cdot4^x = 48[/tex3] . (II)

i) Vamos trabalhar com a expressão (I), que é a que se segue:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} = 8[/tex3] ---> Note que [tex3]8 = 2^3[/tex3] . Assim sendo temos:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} = 2^3[/tex3] ---> Como as potências já têm bases iguais, ignoramo-las e passamos a trabalhar apenas com os expoentes igualando-os. Assim:

[tex3]\sqrt{x+7}= 3[/tex3] ---> Agora para nos libertarmos do radical, vamos eliminá-lo elevando ambos os membros ao quadrado. Assim:

[tex3]({\sqrt{x+7}})^2 = 3^2[/tex3] ---> Desenvolvendo, ficamos com:

[tex3]x+7 = 9[/tex3]
[tex3]x = 9 -7[/tex3]

[tex3]\boxed{x = 2}[/tex3] <--- Este é o valor de [tex3]x[/tex3] conforme a primeira comparação.

ii) Vamos trabalhar com a expressão (II), que é a seguinte:

[tex3]3\cdot4^x = 48[/tex3] ---> Isolando [tex3]4^x[/tex3] temos:

[tex3]4^x = \frac{48}{3}[/tex3]
[tex3]4^x = 16[/tex3] ---> Note que [tex3]16 = 4^2[/tex3] . Assim sendo temos:

[tex3]4^x = 4^2[/tex3] ---> Como as bases já estão iguais, então podemos igualar os expoentes. Logo:

[tex3]\boxed{x = 2}[/tex3] <--- Veja que, pela segunda comparação, também chegámos ao resultado de [tex3]x= 2[/tex3] .

iii) Desta forma, concluímos que:

[tex3]\boxed{\boxed{x = 2}}[/tex3] <--- Esta é a resposta.

Um processo para seguirmos um fio condutor para uma resolução mais condensada e sistematizada do problema, poderia ser utilizando chavetas consecutivas, como se fosse um sistema, (neste caso com uma única incógnita) com base nas equações (I) e (II) formuladas no início.

[tex3]2^{\sqrt{x+7}}= 8[/tex3] . (I)
e
[tex3]3\cdot4^x = 48[/tex3] . (II)

SISTEMA:

[tex3]\begin{cases}
2^{\sqrt{x+7}}=8\; (I)\\
3\cdot4^x=48\;(II)
\end{cases} \Rightarrow

\begin{cases}
2^{\sqrt{x+7}}=2^3\\
4^x =\frac{48}{3}
\end{cases} \Rightarrow

\begin{cases}
(\sqrt{x+7})^2 =3^2\\
4^x=16
\end{cases} \Rightarrow

\begin{cases}
\sqrt[\cancel2]{(x+7)^{\cancel2}}=3^2\\
4^x=4^2
\end{cases} \Rightarrow\\

\Rightarrow \begin{cases}
x+7=9\\
4^x=4^2
\end{cases} \; \Rightarrow

\begin{cases}
x+7=9\\
x=2
\end{cases} \Rightarrow

\begin{cases}
x=9-7\\
x=2
\end{cases} \Rightarrow

\begin{cases}
x=2\\
x=2
\end{cases}[/tex3]

No fundo o que tinhamos que fazer era:

Dada a equação original.
---> [tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x-56 = 0[/tex3]

1º - Colocar o termo independente para o 2º membro.
---> [tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x = 56[/tex3]

2º - Intuir que o nº 56 se pode e nos convém escreve-lo sob a forma de 8+46, para a consecução do problema.
---> [tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x = 8+46[/tex3]

3º - Formar 2 equações igualando os valores das caixas de rebordo duplo com as de rebordo simples. Ver abaixo.
---> [tex3]\boxed{\boxed{2^{\sqrt{x+7}}}} + \boxed{3\cdot 4^x} = \boxed{\boxed{8}}+\boxed{46}[/tex3]

4º - E por último resolver essas equações. Vindo-se a concluir que a variável [tex3]x[/tex3] acaba por dar o mesmo valor em ambas, justificando que [tex3]x=2[/tex3] .

A explicação está um pouco longa, mas é para que entenda ao pormenor. E como diz o provérbio "Quem corre por gosto não cansa".
Espero ter ajudado.
Abraço

Enviado: **20 Jul 2015, 10:02**

Bom dia, amigo olgario.
Somente agora vim a perceber sua segunda resposta a esta minha questão.
Venho agradecer-lhe de coração por todo o empenho em colocar esta resolução assim tão completa a respeito da equação exponencial que coloquei há tempos neste fórum.
Um grande abraço para ti.
ivo213

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