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Determine $x$ , $0 < x \leq \frac{\pi }{2}$ , para o qual $\text{sen}(4x)\cdot\cot(x)=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$ .

Resposta

Resposta: $x=\frac{\pi }{12}$ ou $x=\frac{\pi }{6}$

$\sin(4x)\cdot\cot(x)=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$

Desenvolvendo $\sin(4x)$ :

$\sin(4x)=$
$=\sin(2x+2x)=$
$=2\sin 2x\cos 2x=$
$=2\sin(x+x)\cos(x+x)=$
$=2(2\sin x\cos x)(\cos^2x-\sin^2x)=$
$=2(2\sin x\cos x)(\cos^2x-(1-\cos^2x))=$
$=2(2\sin x\cos x)(2\cos^2x-1)$

Substituindo $\sin(4x)$ na equação original e desenvolvendo o lado esquerdo:

$\sin(4x)\cdot\cot(x)=$
$2(2\sin x\cos x)(2\cos^2x-1)\cdot\cot(x)=$
$=2(2\cancel{\sin x}\cos x)(2\cos^2x-1)\cdot\frac{\cos x}{\cancel{\sin x}}=$
$=2(2\cos^2x)(2\cos^2x-1)=$
$=8\cos^4x-4\cos^2x$

Substituindo $\sin(4x)\cdot\cot(x)$ na equação original e desenvolvendo-a por completo:

$\sin(4x)\cdot\cot(x)=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$
$8\cos^4x-4\cos^2x=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$
$16\cos^4x-8\cos^2x=3+2\sqrt{3}$
$16\cos^4x-8\cos^2x-(3+2\sqrt{3})=0$

Fazendo $\cos^2x=y$ ,

$16y^2-8y-(3+2\sqrt{3})=0\rightarrow\begin{cases}y_1=\frac{1+\sqrt{2(2+\sqrt{3}})}{2}\\y_2=\frac{1-\sqrt{2(2+\sqrt{3}})}{2}\end{cases}$

Como $y=\cos^2x$ ,

$\cos x=\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{2(2+\sqrt{3})}}{4}}$

Repare que $\cos x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2(2+\sqrt{3})}}{4}}\ (I)$ é quase a fórmula do arco-metade, que diz que $\cos\theta=\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}$ .

Repare, também, que $\cos x=\sqrt{\frac{1-\sqrt{2(2+\sqrt{3})}}{4}}\ (II)$ é quase a fórmula do arco-metade, que diz que $\cos\theta=\sqrt{\frac{1-\sin2\theta}{2}}$ .

Desenvolvendo $\sqrt{2(2+\sqrt{3})}$ na tentativa de chegarmos às fórmulas do arco-metade:

$\sqrt{2(2+\sqrt{3})}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+3}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$

Substituindo em $(I)$ :

$\cos x=\sqrt{\frac{1+(1+\sqrt{3})}{4}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Logo,

$\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow 2x=\frac{\pi}{6}\rightarrow x=\frac{\pi}{12}$

Substituindo em $(II)$ :

$\cos x=\sqrt{\frac{1-(1+\sqrt{3})}{4}}=\sqrt{-\frac{\sqrt{3}}{4}}\notin\mathbb{R}$

$S=\left\{\frac{\pi}{12}\right\}$

$\frac{\pi}{6}$ não é solução da equação.

Resposta genial ... parabéns. Eu também resolvi... só que por um método mais longo... brilhante sua dedução csmarcelo... muito obrigado.

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