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Uma particula se move no plano xy de tal modo que suas coordenadas x e y variam com o tempo de acordo com as expressões x(t) = At³+Bt; y(t) Ct²+D,em que A = 1m/s³,B = -32m/s,C = 5m/s² e D= 12m. Determine a posição a velocidade e a aceleração da particula quando t = 3s.

tiberiotavares escreveu:Uma particula se move no plano xy de tal modo que suas coordenadas x e y variam com o tempo de acordo com as expressões x(t) = At³+Bt; y(t) Ct²+D,em que A = 1m/s³,B = -32m/s,C = 5m/s² e D= 12m. Determine a posição a velocidade e a aceleração da particula quando t = 3s.

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[tex3]x(t) = At^3+Bt \;\; , \;\; y(t) = Ct^2+D \;\;\\\\\;\; A = 1\;\text{m/s}^3 \;, \; B = -32\;\text{m/s} \;,\; C = 5\;\text{m/s}^2 \; , D = 12\;\text{m} \\\\ x(t) = t^3 -32t \;\; , \;\; y(t) = 5t^2 + 12 \;\; \rightarrow \;\; r(t) = (t^3 -32t)i + (5t^2+12)j[/tex3]

A velocidade e a aceleração podem ser obtidas derivando a equação da posição 1 e 2 vezes, respectivamente:

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[tex3]v(t) = r'(t) = (3t^2-32)i + (10t)j[/tex3]

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[tex3]a(t) = r''(t) = v'(t) = (6t)i + (10)j[/tex3]

Portanto, conseguimos as 3 equações, da posição, da velocidade e da aceleração:

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[tex3]r(t) = (t^3 -32t)i + (5t^2+12)j[/tex3]

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[tex3]v(t) = (3t^2-32)i + (10t)j[/tex3]

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[tex3]a(t) = (6t)i + (10)j[/tex3]

Aplicando em t = 3s, temos:

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[tex3]r(3) = (3^3 -32.3)i + (5.3^2 + 12)j = (9-96)i + (45+12)j = -87i +57j \;\text{m}[/tex3]

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[tex3]v(3) = (3.3^2-32)i + (10.3)j = (27-32)i + (30)j = -5i + 30j \;\text{m/s}[/tex3]

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[tex3]a(3) = (6.3)i + (10)j = 18i + 10j \; \text{m/s}^2[/tex3]