[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
Resposta
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A. Tópico resolvido
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Fev 2012
27
18:18
(IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Calcular:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 19 Jul 2017, 02:52, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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Mar 2012
05
23:43
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá theblackmamba,
Para resolver esta questão, iremos utilizar a seguinte fórmula [tex3]\boxed{1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3] , onde [tex3]\text{cis}(\theta)[/tex3] é uma representação de um complexo de módulo [tex3]1[/tex3] e argumento [tex3]\theta[/tex3] .
Vamos começar trabalhando o produto que há em cada parcela do somatório. Esqueça o somatório neste início.
[tex3]\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{n}\right) \cdot ... \cdot \cos\left(\frac{n\pi}{n}\right)[/tex3]
Agora vamos multiplicar e dividir pelos fatores que estão faltando para conseguirmos encaixar a fórmula citada no início, e representar os argumentos de uma forma a facilitar as contas:
[tex3]\frac{2\cos\left(\frac{2\pi /n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{4\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{6\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot... \cdot 2\cos\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}{2^n\text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot ... \cdot\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}[/tex3]
Sabendo que o produto de números complexos acarreta na multiplicação de seus módulos e na soma de seus argumentos. E como no denominador temos um produto de vários complexos unitários (módulo igual a um), podemos apenas somar seus argumentos (é uma P.A. de razão [tex3]\frac{2\pi/n}{2}[/tex3] com [tex3]n[/tex3] termos).
E no numerador podemos substituir cada parzinho pela fórmula dada no início:
[tex3]\frac{\left[1+\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{4\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{6\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[1+\text{cis}\left(\frac{2n\pi}{n}\right)\right]}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
Para facilitar mais ainda a visualização:
[tex3]\frac{\left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot 1\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 2\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 3\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot n\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot(-1)^n}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
O pulo do gato vem aqui... devemos ver que, no numerador, cada [tex3]\text{cis}[/tex3] representado ali é uma raiz n-ésima da unidade.
Ou seja, se tivermos o polinômio [tex3]p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)[/tex3] , onde [tex3]x_k[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]1\leq k\leq n[/tex3] é uma raiz n-ésima da unidade, podemos rescrever [tex3]p(x)[/tex3] como [tex3]p(x)=x^n-1[/tex3] e colocar no numerador da fração acima [tex3]p(-1)=(-1)^n-1[/tex3] .
E, pela fórmula de Moivre para radiciação de números complexos, temos que o denominador é [tex3]2^ni^{n+1}[/tex3]
[tex3]\frac{\left[(-1)^n-1\right](-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Efetuando a distributiva:
[tex3]\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Agora voltamos ao somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Note que, sempre que [tex3]n[/tex3] for par, a parcela será ZERO. Portanto, vamos separar os fatores ímpares (que são diferentes de ZERO) trocando a variável [tex3]n[/tex3] por [tex3]2k[/tex3] e [tex3]2k+1[/tex3] (por [tex3]2k[/tex3] nem vamos mexer, pois é ZERO).
Fazendo [tex3]n=2k+1[/tex3] , temos que quando [tex3]n=1\rightarrow k=0[/tex3] :
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k+1}}{2^{2k+1}i^{2k+2}}\,\,\rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{2^{2k}\cdot 2\cdot (i^2)^{k+1}}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k}[/tex3]
Temos um somatório infinito de termos em PG, onde o primeiro termo [tex3]a_1[/tex3] acontece quando [tex3]k=0[/tex3] .
[tex3]a_1=-1[/tex3]
[tex3]q=-\frac{1}{4}[/tex3]
Temos o somatório dos infinitos termos desta PG:
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\boxed{\boxed{-\frac{4}{5}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
P.S.: Deixo como desafio (poste como resposta a este tópico) a demonstração da fórmula [tex3]1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3] . Pois, em uma prova dissertativa, sua demonstração seria exigida (dica: utilize a representação no plano cartesiano dos números complexos).
Para resolver esta questão, iremos utilizar a seguinte fórmula [tex3]\boxed{1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3] , onde [tex3]\text{cis}(\theta)[/tex3] é uma representação de um complexo de módulo [tex3]1[/tex3] e argumento [tex3]\theta[/tex3] .
Vamos começar trabalhando o produto que há em cada parcela do somatório. Esqueça o somatório neste início.
[tex3]\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{n}\right) \cdot ... \cdot \cos\left(\frac{n\pi}{n}\right)[/tex3]
Agora vamos multiplicar e dividir pelos fatores que estão faltando para conseguirmos encaixar a fórmula citada no início, e representar os argumentos de uma forma a facilitar as contas:
[tex3]\frac{2\cos\left(\frac{2\pi /n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{4\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{6\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot... \cdot 2\cos\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}{2^n\text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot ... \cdot\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}[/tex3]
Sabendo que o produto de números complexos acarreta na multiplicação de seus módulos e na soma de seus argumentos. E como no denominador temos um produto de vários complexos unitários (módulo igual a um), podemos apenas somar seus argumentos (é uma P.A. de razão [tex3]\frac{2\pi/n}{2}[/tex3] com [tex3]n[/tex3] termos).
E no numerador podemos substituir cada parzinho pela fórmula dada no início:
[tex3]\frac{\left[1+\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{4\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{6\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[1+\text{cis}\left(\frac{2n\pi}{n}\right)\right]}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
Para facilitar mais ainda a visualização:
[tex3]\frac{\left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot 1\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 2\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 3\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot n\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot(-1)^n}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
O pulo do gato vem aqui... devemos ver que, no numerador, cada [tex3]\text{cis}[/tex3] representado ali é uma raiz n-ésima da unidade.
Ou seja, se tivermos o polinômio [tex3]p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)[/tex3] , onde [tex3]x_k[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]1\leq k\leq n[/tex3] é uma raiz n-ésima da unidade, podemos rescrever [tex3]p(x)[/tex3] como [tex3]p(x)=x^n-1[/tex3] e colocar no numerador da fração acima [tex3]p(-1)=(-1)^n-1[/tex3] .
E, pela fórmula de Moivre para radiciação de números complexos, temos que o denominador é [tex3]2^ni^{n+1}[/tex3]
[tex3]\frac{\left[(-1)^n-1\right](-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Efetuando a distributiva:
[tex3]\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Agora voltamos ao somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Note que, sempre que [tex3]n[/tex3] for par, a parcela será ZERO. Portanto, vamos separar os fatores ímpares (que são diferentes de ZERO) trocando a variável [tex3]n[/tex3] por [tex3]2k[/tex3] e [tex3]2k+1[/tex3] (por [tex3]2k[/tex3] nem vamos mexer, pois é ZERO).
Fazendo [tex3]n=2k+1[/tex3] , temos que quando [tex3]n=1\rightarrow k=0[/tex3] :
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k+1}}{2^{2k+1}i^{2k+2}}\,\,\rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{2^{2k}\cdot 2\cdot (i^2)^{k+1}}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k}[/tex3]
Temos um somatório infinito de termos em PG, onde o primeiro termo [tex3]a_1[/tex3] acontece quando [tex3]k=0[/tex3] .
[tex3]a_1=-1[/tex3]
[tex3]q=-\frac{1}{4}[/tex3]
Temos o somatório dos infinitos termos desta PG:
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\boxed{\boxed{-\frac{4}{5}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
P.S.: Deixo como desafio (poste como resposta a este tópico) a demonstração da fórmula [tex3]1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3] . Pois, em uma prova dissertativa, sua demonstração seria exigida (dica: utilize a representação no plano cartesiano dos números complexos).
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Mar 2012
06
17:47
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá Profº Caju,
Muito obrigado pela resolução, realmente fantástica.
Vou deduzir a fórmula usando as relações trigonométricas:
[tex3]\sen \theta = 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cos\theta + 1 = \cos\theta + \cos 0^{\circ} = 2 \cdot \cos \left(\frac{\theta+0}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta-0}{2}\right) = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
Vamos à nossa conta:
[tex3]\cis \theta + 1 = \cos\theta + 1 + i\sen \theta = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) + i \cdot 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cis \theta + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\right][/tex3]
[tex3]\boxed{\cis \theta + 1 = 2 \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right) }[/tex3]
Grande abraço!
Muito obrigado pela resolução, realmente fantástica.
Vou deduzir a fórmula usando as relações trigonométricas:
[tex3]\sen \theta = 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cos\theta + 1 = \cos\theta + \cos 0^{\circ} = 2 \cdot \cos \left(\frac{\theta+0}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta-0}{2}\right) = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
Vamos à nossa conta:
[tex3]\cis \theta + 1 = \cos\theta + 1 + i\sen \theta = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) + i \cdot 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cis \theta + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\right][/tex3]
[tex3]\boxed{\cis \theta + 1 = 2 \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right) }[/tex3]
Grande abraço!
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Mar 2012
08
00:00
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá theblackmamba,
Muito boa sua dedução.
Gostaria de deixar um desafio para você (ou para quem estiver lendo), fazer esta demonstração utilizando a representação geométrica dos números complexos (no plano cartesiano, para quem não se lembra).
É muito interessante esta demonstração, por isso estou pedindo-a.
Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
Grande abraço,
Prof. Caju
Muito boa sua dedução.
Gostaria de deixar um desafio para você (ou para quem estiver lendo), fazer esta demonstração utilizando a representação geométrica dos números complexos (no plano cartesiano, para quem não se lembra).
É muito interessante esta demonstração, por isso estou pedindo-a.
Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
Grande abraço,
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Mar 2012
31
13:41
Re: (IMO) Somatório do Produto de cossenos em P.A.
Seja dois números complexos: [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] tais que:caju escreveu:Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
[tex3]z_1=|z_1| \cdot\cis \alpha[/tex3]
[tex3]z_2 = |z_2| \cdot \cis \theta[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \cis \alpha \cdot \cis \theta[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sen \alpha) \cdot (\cos\theta + i \cdot \sen \theta)[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (\cos\alpha \cdot\cos\theta - \sen \alpha \cdot \sen \theta) + i \cdot (\sen \theta \cdot \cos\alpha + \sen \alpha \cdot\cos\theta )[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot [\cos(\alpha+\theta) + i\sen (\alpha + \theta)][/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \cis (\alpha+\theta)}}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 19 Jul 2017, 02:54, em um total de 3 vezes.
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Mar 2012
31
13:44
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Seja [tex3]z=\cis (\theta)[/tex3]
.
[tex3]z+1=w[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]|z|=1[/tex3]
Pela figura,
[tex3]\{\alpha+\beta=\theta \\ 2\alpha+\gamma=180^{\circ} \\ 2\beta + \gamma=180^{\circ}[/tex3] [tex3]\longrightarrow \alpha=\beta=\frac{\theta}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]\cis (\theta) +1 = k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]|\cis (\theta) +1| = \left|k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{|\cis \left(\frac{\theta}{2}\right)|}[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{1}[/tex3]
[tex3]|k|=1^2+1^2+2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta=2+2\cos\theta[/tex3]
[tex3]|k|=2(1+\cos\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\cis (\theta)+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2} \right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3]
Se encontrarem falhas me avisem.
Grande abraço.
[tex3]z+1=w[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]|z|=1[/tex3]
- pcomp.png (12.87 KiB) Exibido 2891 vezes
[tex3]\{\alpha+\beta=\theta \\ 2\alpha+\gamma=180^{\circ} \\ 2\beta + \gamma=180^{\circ}[/tex3] [tex3]\longrightarrow \alpha=\beta=\frac{\theta}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]\cis (\theta) +1 = k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]|\cis (\theta) +1| = \left|k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{|\cis \left(\frac{\theta}{2}\right)|}[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{1}[/tex3]
[tex3]|k|=1^2+1^2+2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta=2+2\cos\theta[/tex3]
[tex3]|k|=2(1+\cos\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\cis (\theta)+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2} \right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3]
Se encontrarem falhas me avisem.
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