Sejam [tex3]a,\, b\, e\, c[/tex3]
as raízes do polinômio [tex3]x^3-2x^2-3x-4=0.[/tex3]
Calcule o valor de:
[tex3]\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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theblackmamba
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Fev 2012
15
17:54
Re: Polinômios
Olá Natan,
Vou usar a relação:
[tex3]x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + ... + y^{n-2} x + y^{n-1})[/tex3]
Logo,
[tex3]a^5-b^5 = (a-b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)[/tex3]
[tex3]b^5-c^5=(b-c)(b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4)[/tex3]
[tex3]c^5-a^5=(c-a)(c^4+c^3 a + c^2 a^2 + ca^3 + a^4)[/tex3]
Jogando na equação dada:
[tex3]\frac{(a-b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)}{(a-b)} + \frac{(b-c)(b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4)}{(b-c)} + \frac{(c-a)(c^4+c^3 a + c^2 a^2 + ca^3 + a^4)}{(c-a)}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]a^4 + a^3b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4 + b^4 + b^3c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4 + c^4 + c^3 a + c^2 + a^2c^2 + ca^3 + a^4[/tex3]
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + ab(a^2 + ab + b^2) + bc(b^2 + bc + c^2) + ac(c^2 + ac + a^2)[/tex3]
Usando a relação de médias:
[tex3]a^2 + b^2 \geq 2ab[/tex3]
[tex3]b^2 + c^2 \geq 2bc[/tex3]
[tex3]a^2 + c^2 \geq 2ac[/tex3]
Substituindo:
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3(ab)^3 + 3(bc)^2 + 3(ac)^2[/tex3]
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2][/tex3]
A soma [tex3]a^4 + b^4 + c^4[/tex3] vamos achar pelo Teorema de Newton:
[tex3]S_0 = a^0 + b^0 + c^0 = 3[/tex3]
[tex3]S_1 = a^1 + b^1 + c^1 = 2[/tex3]
[tex3]S_2 = a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 2^2 - 2(-3) = 10[/tex3]
Aplicando na equação:
[tex3]1\cdot S_3 - 2\cdot S_2 - 3\cdot S_1 - 4 \cdot S_0 = 0[/tex3]
[tex3]S_3 = 20 + 6 + 12 = 38[/tex3]
Novamente:
[tex3]1 \cdot S_4 - 2\cdot S_3 - 3 \cdot S_2 - 4\cdot S_1 = 0[/tex3]
[tex3]S_4 = 76 + 30 + 8 = 114[/tex3]
[tex3](ab + bc + ac)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc(a + b + c) \Right (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = (-3)^2 - 2\cdot4 \cdot 2 = -7[/tex3]
Substituindo tudo na equação encontrada:
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2] = 2\cdot 114 + 3\cdot (-7) = \boxed{207}[/tex3]
Grande abraço.
Vou usar a relação:
[tex3]x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + ... + y^{n-2} x + y^{n-1})[/tex3]
Logo,
[tex3]a^5-b^5 = (a-b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)[/tex3]
[tex3]b^5-c^5=(b-c)(b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4)[/tex3]
[tex3]c^5-a^5=(c-a)(c^4+c^3 a + c^2 a^2 + ca^3 + a^4)[/tex3]
Jogando na equação dada:
[tex3]\frac{(a-b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)}{(a-b)} + \frac{(b-c)(b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4)}{(b-c)} + \frac{(c-a)(c^4+c^3 a + c^2 a^2 + ca^3 + a^4)}{(c-a)}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]a^4 + a^3b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4 + b^4 + b^3c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4 + c^4 + c^3 a + c^2 + a^2c^2 + ca^3 + a^4[/tex3]
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + ab(a^2 + ab + b^2) + bc(b^2 + bc + c^2) + ac(c^2 + ac + a^2)[/tex3]
Usando a relação de médias:
[tex3]a^2 + b^2 \geq 2ab[/tex3]
[tex3]b^2 + c^2 \geq 2bc[/tex3]
[tex3]a^2 + c^2 \geq 2ac[/tex3]
Substituindo:
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3(ab)^3 + 3(bc)^2 + 3(ac)^2[/tex3]
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2][/tex3]
A soma [tex3]a^4 + b^4 + c^4[/tex3] vamos achar pelo Teorema de Newton:
[tex3]S_0 = a^0 + b^0 + c^0 = 3[/tex3]
[tex3]S_1 = a^1 + b^1 + c^1 = 2[/tex3]
[tex3]S_2 = a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 2^2 - 2(-3) = 10[/tex3]
Aplicando na equação:
[tex3]1\cdot S_3 - 2\cdot S_2 - 3\cdot S_1 - 4 \cdot S_0 = 0[/tex3]
[tex3]S_3 = 20 + 6 + 12 = 38[/tex3]
Novamente:
[tex3]1 \cdot S_4 - 2\cdot S_3 - 3 \cdot S_2 - 4\cdot S_1 = 0[/tex3]
[tex3]S_4 = 76 + 30 + 8 = 114[/tex3]
[tex3](ab + bc + ac)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc(a + b + c) \Right (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = (-3)^2 - 2\cdot4 \cdot 2 = -7[/tex3]
Substituindo tudo na equação encontrada:
[tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + 3[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2] = 2\cdot 114 + 3\cdot (-7) = \boxed{207}[/tex3]
Grande abraço.
Editado pela última vez por theblackmamba em 15 Fev 2012, 17:54, em um total de 1 vez.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Natan
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Fev 2012
15
18:22
Re: Polinômios
Legal, quando eu fiz cheguei na seguinte situação:
[tex3]2(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)+a^3(b+c)+b^3(a+c)+c^3(a+b)[/tex3]
que na verdade é a mesma coisa porém agrupado de outra forma. Como vc obtive a primeira soma com o uso do Teorema de Newton e a soma de quadrados com as relações de Girard, porém não consegui fazer nada com o que sobrou...
só não entendi uma coisa na sua solução!
sabendo que:
[tex3]a^2 + b^2 \geq 2ab
b^2 + c^2 \geq 2bc
a^2 + c^2 \geq 2ac[/tex3]
para substituir em: [tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + ab(a^2 + ab + b^2) + bc(b^2 + bc + c^2) + ac(c^2 + ac + a^2)[/tex3]
as desigualdades acima deveriam ser igualdades não? pois do contrário a após a substituição teríamos uma desigualdade e não mais uma igualdade
[tex3]2(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)+a^3(b+c)+b^3(a+c)+c^3(a+b)[/tex3]
que na verdade é a mesma coisa porém agrupado de outra forma. Como vc obtive a primeira soma com o uso do Teorema de Newton e a soma de quadrados com as relações de Girard, porém não consegui fazer nada com o que sobrou...
só não entendi uma coisa na sua solução!
sabendo que:
[tex3]a^2 + b^2 \geq 2ab
b^2 + c^2 \geq 2bc
a^2 + c^2 \geq 2ac[/tex3]
para substituir em: [tex3]2(a^4 + b^4 + c^4) + ab(a^2 + ab + b^2) + bc(b^2 + bc + c^2) + ac(c^2 + ac + a^2)[/tex3]
as desigualdades acima deveriam ser igualdades não? pois do contrário a após a substituição teríamos uma desigualdade e não mais uma igualdade
Editado pela última vez por Natan em 15 Fev 2012, 18:22, em um total de 1 vez.
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caju
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Fev 2012
15
18:39
Re: Polinômios
Olá Natan,
A primeira tentativa seria descobrir as raízes e substituir. Mas, para este polinômio, isso não é uma tarefa fácil.
Vamos, então, fatorar a expressão pedida. Utilizando diferença de dois números à quinta pontência
[tex3]\Large\boxed{x^5-y^5=(x-y)\cdot(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{(a-b)}\cdot(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}{\cancel{a-b}}+\frac{\cancel{(b-c)}\cdot(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)}{\cancel{b-c}}+\frac{\cancel{(c-a)}\cdot(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)}{\cancel{c-a}}[/tex3]
[tex3]a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4+b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4+c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4[/tex3]
Arrumando as parcelas para facilitar as contas, e colocando uns parênteses para facilitar a visualização das partes interessantes:
[tex3](a^4+a^3b+ca^3+b^4+b^3c+ab^3+c^4+c^3a+bc^3)+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/tex3]
No primeiro parênteses podemos colocar os termos ao cubo em evidência:
[tex3][a^3(a+b+c)+b^3(b+c+a)+c^3(c+a+b)]+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/tex3]
Agora colocamos [tex3](a+b+c)[/tex3] em evidência:
[tex3](a+b+c)(a^3+b^3+c^3)+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\text{ (O)}[/tex3]
Pronto, agora cada parte desta expressão pode ser encontrada olhando para os coeficientes do polinômio:
[tex3]\text{(I) }S=a+b+c=2[/tex3]
[tex3]\text{(II) }P=abc=4[/tex3]
[tex3]\text{(III) }ab+bc+ac=-3[/tex3]
Elevando a [tex3](III)[/tex3] ao quadrado chegamos em:
[tex3]a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=9\,\,\longrightarrow[100]^{\text{(I) e (II)}} \,\,\boxed{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=-7}\text{ (IV)}[/tex3]
A soma dos quadrados e dos cubos das raízes é algo que podemos encontrar por Teorema de Newton. Mas, vou fazer uma demonstração ultra rápida abaixo sem usar o teorema:
Elevando [tex3](I)[/tex3] ao quadrado:
[tex3]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2\cdot(ab+ac+bc)\,\,\rightarrow \,\, \boxed{a^2+b^2+c^2=10}\text{ (V)}[/tex3]
Elevando [tex3](I)[/tex3] ao cubo:
[tex3]a^3+b^3+c^3=\frac{3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+6abc-(a+b+c)^3}{2}\,\,\rightarrow \,\, \boxed{a^3+b^3+c^3=38}\text{ (VI)}[/tex3]
A soma das quartas potências das raízes vamos encontrar elevando ao quadrado [tex3](V)[/tex3] :
[tex3](a^2+b^2+c^2)=10^2[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=100\,\,\longrightarrow[60]^{\text{(IV)}}\,\,\boxed{a^4+b^4+c^4=114}[/tex3]
Substituindo essas igualdades em [tex3](O)[/tex3] :
[tex3]2\cdot 38 +114-7=\boxed{\boxed{183}}[/tex3]
A primeira tentativa seria descobrir as raízes e substituir. Mas, para este polinômio, isso não é uma tarefa fácil.
Vamos, então, fatorar a expressão pedida. Utilizando diferença de dois números à quinta pontência
[tex3]\Large\boxed{x^5-y^5=(x-y)\cdot(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{(a-b)}\cdot(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}{\cancel{a-b}}+\frac{\cancel{(b-c)}\cdot(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)}{\cancel{b-c}}+\frac{\cancel{(c-a)}\cdot(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)}{\cancel{c-a}}[/tex3]
[tex3]a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4+b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4+c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4[/tex3]
Arrumando as parcelas para facilitar as contas, e colocando uns parênteses para facilitar a visualização das partes interessantes:
[tex3](a^4+a^3b+ca^3+b^4+b^3c+ab^3+c^4+c^3a+bc^3)+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/tex3]
No primeiro parênteses podemos colocar os termos ao cubo em evidência:
[tex3][a^3(a+b+c)+b^3(b+c+a)+c^3(c+a+b)]+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/tex3]
Agora colocamos [tex3](a+b+c)[/tex3] em evidência:
[tex3](a+b+c)(a^3+b^3+c^3)+(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\text{ (O)}[/tex3]
Pronto, agora cada parte desta expressão pode ser encontrada olhando para os coeficientes do polinômio:
[tex3]\text{(I) }S=a+b+c=2[/tex3]
[tex3]\text{(II) }P=abc=4[/tex3]
[tex3]\text{(III) }ab+bc+ac=-3[/tex3]
Elevando a [tex3](III)[/tex3] ao quadrado chegamos em:
[tex3]a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=9\,\,\longrightarrow[100]^{\text{(I) e (II)}} \,\,\boxed{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=-7}\text{ (IV)}[/tex3]
A soma dos quadrados e dos cubos das raízes é algo que podemos encontrar por Teorema de Newton. Mas, vou fazer uma demonstração ultra rápida abaixo sem usar o teorema:
Elevando [tex3](I)[/tex3] ao quadrado:
[tex3]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2\cdot(ab+ac+bc)\,\,\rightarrow \,\, \boxed{a^2+b^2+c^2=10}\text{ (V)}[/tex3]
Elevando [tex3](I)[/tex3] ao cubo:
[tex3]a^3+b^3+c^3=\frac{3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+6abc-(a+b+c)^3}{2}\,\,\rightarrow \,\, \boxed{a^3+b^3+c^3=38}\text{ (VI)}[/tex3]
A soma das quartas potências das raízes vamos encontrar elevando ao quadrado [tex3](V)[/tex3] :
[tex3](a^2+b^2+c^2)=10^2[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=100\,\,\longrightarrow[60]^{\text{(IV)}}\,\,\boxed{a^4+b^4+c^4=114}[/tex3]
Substituindo essas igualdades em [tex3](O)[/tex3] :
[tex3]2\cdot 38 +114-7=\boxed{\boxed{183}}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 15 Fev 2012, 18:39, em um total de 1 vez.
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15
18:55
Re: Polinômios
Perfeito prof, muitíssimo obrigado!
agradecimentos tb a vc theblackmamba.
agradecimentos tb a vc theblackmamba.
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15
18:58
Re: Polinômios
Olá Profº Caju 
Poderia apontar meu erro na resolução ?
Abraço a todos.
Poderia apontar meu erro na resolução ?
Abraço a todos.
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caju
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19:15
Re: Polinômios
Olá theblackmamba,
Seu erro foi justamente ter usado a desigualdade das medias como sendo uma igualdade.
Você só poderia substituir se fosse uma igualdade.
Grande abraço,
Prof. Caju
Seu erro foi justamente ter usado a desigualdade das medias como sendo uma igualdade.
Você só poderia substituir se fosse uma igualdade.
Grande abraço,
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19:17
Re: Polinômios
Olá theblackmamba,
Vou relembrar uma coisa que já falei uma vez, as médias só podem ser usadas quando os valores atribuídos são reais, veja que este polinômio só tem raízes complexas, desta forma não podemos usar as médias.
Grande abraço.
Vou relembrar uma coisa que já falei uma vez, as médias só podem ser usadas quando os valores atribuídos são reais, veja que este polinômio só tem raízes complexas, desta forma não podemos usar as médias.
Grande abraço.
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19:24
Re: Polinômios
Ok! Entendi bem meu erro
Abraços
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