Ensino Médio ⇒ Função Modular Tópico resolvido

[gabrielmacc]

22) Solucione a equação [tex3]|2x +7| + |2x - 1| = 8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|2x +7| + |2x - 1| = 8[/tex3]

.

Resposta

---

22) [tex3]-3,\,-2,\,-1,\,0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3,\,-2,\,-1,\,0[/tex3]

[petras]

gabrielmacc,
Creio que a questão deveria pedir os valores inteiros.
[tex3]\boxed{|2x+7| = 2x+7 p/2x+7 \geq 0 \implies x \geq -\frac{7}{2}\\
=-2x-7 p/2x+7 <0 \implies x < -\frac{7}{2}}\\
\boxed{|2x-1| = 2x-1 p/2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}\\
=-2x+1 p/2x-1 <0 \implies x < \frac{1}{2}}\\
-2x-7[-\frac{7}{2}]2x+7[\frac{1}{2}]2x+7\\
-2x+1[-\frac{7}{2}]-2x+1[\frac{1}{2}]2x-1\\
-4x-6[-\frac{7}{2}]0+8[\frac{1}{2}]4x+6\\
\therefore -4x-6 = 8 \implies \cancel{x = -\frac{7}{2}(x < -\frac{7}{2})}\\
0+8 = 0 \implies 0 = 0 \implies \forall x \in R (-\frac{7}{2} \leq x < \frac{1}{2}) \checkmark \\
4x+6 = 8 \implies x = \frac{1}{2} ( x\geq \frac{1}{2})\checkmark\\
\therefore \boxed{-\frac{7}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}}




[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{|2x+7| = 2x+7 p/2x+7 \geq 0 \implies x \geq -\frac{7}{2}\\
=-2x-7 p/2x+7 <0 \implies x < -\frac{7}{2}}\\
\boxed{|2x-1| = 2x-1 p/2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}\\
=-2x+1 p/2x-1 <0 \implies x < \frac{1}{2}}\\
-2x-7[-\frac{7}{2}]2x+7[\frac{1}{2}]2x+7\\
-2x+1[-\frac{7}{2}]-2x+1[\frac{1}{2}]2x-1\\
-4x-6[-\frac{7}{2}]0+8[\frac{1}{2}]4x+6\\
\therefore -4x-6 = 8 \implies \cancel{x = -\frac{7}{2}(x < -\frac{7}{2})}\\
0+8 = 0 \implies 0 = 0 \implies \forall x \in R (-\frac{7}{2} \leq x < \frac{1}{2}) \checkmark \\
4x+6 = 8 \implies x = \frac{1}{2} ( x\geq \frac{1}{2})\checkmark\\
\therefore \boxed{-\frac{7}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}}




[/tex3]

[joaovitor]

Tentei responder esse tópico mais cedo, porém não estava conseguindo upar as imagens kkkk, de qualquer forma, vou deixar minha contribuição. Que sirva como um complemento à solução do petras.

Vamos lá:

Eu gosto de resolver esse estilo de exercício por meio de um dispositivo prático que eu sempre uso. Na minha opinião, fica mais "visual" e eu consigo organizar melhor meu raciocínio. Se tiver alguma dúvida, pode me perguntar. Veja só:

O que eu fiz na imagem acima foi montar duas colunas com as respectivas raízes de f(x) e g(x). A depender da inclinação da reta, o sinal da função vai trocar depois de passar pela raiz. Depois é só somar as equações, e você vai ter uma função para cada intervalo. Eu tô escrevendo muita coisa, mas é menos complicado do que parece kkkk.

Agora, tudo o que eu fiz foi esboçar o nosso gráfico, de acordo com a tabela obtida acima.

Perceba, na imagem abaixo, que, para [tex3]y=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=8[/tex3]

, existem infinitas soluções contidas no intervalo [tex3][\frac{-7}{2},\frac{1}{2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][\frac{-7}{2},\frac{1}{2}][/tex3]

.

Mas, se o exercício pedisse apenas as soluções inteiras, de fato, [tex3]-3, -2, - 1, 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3, -2, - 1, 0[/tex3]

seria o gabarito da questão.

Mas a real mesmo é que as soluções da equação dada são infinitas. Dentro do nosso intervalo, claro. Enfim, fica aí uma maneira mais "visual" do que ocorre nessa questão.

[caju]

Que bom que você tentou novamente, @joaovitor.

Hoje a tarde eu fiz uma atualização do sistema operacional do servidor, e deu uma bugada gigantesca em diversas partes do fórum! A parte de anexo foi uma delas. E o fórum ficou muito lento (mais do que o normal, rsrs).

Mas, consegui recuperar um backup anterior, com o sistema operacional sem a última atualização, e recuperei as mensagens (perdemos 2 apenas).

Espero que esteja tudo funcionando corretamente agora!

Grande abraço,
Prof. Caju