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Dada a figura, calcular: PN. a)10
b)11
c)12
d)13
e)14

AngelitaB,
Sejam [tex3]PN=a, \; \; NB=b, \; \; AP=c.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PN=a, \; \; NB=b, \; \; AP=c.[/tex3]

Veja que os triângulos PNB e PNA são semelhantes. A razão de semelhança pode ser expressa por [tex3]\frac{a}{b},[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b},[/tex3]

e também pode ser expressa pela razão entre os raios das circunferências inscritas, então [tex3]\frac{a}{b}=\frac{4}{3} \Longrightarrow b=\frac{3a}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b}=\frac{4}{3} \Longrightarrow b=\frac{3a}{4}.[/tex3]

[tex3]PB^2=a^2+b^2 \Longrightarrow PB=\frac{5a}{3}.[/tex3]

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[tex3]PB^2=a^2+b^2 \Longrightarrow PB=\frac{5a}{3}.[/tex3]

A área do triângulo PNB é [tex3]\frac{ab}{2}=\frac{3a^2}{8},[/tex3]

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[tex3]\frac{ab}{2}=\frac{3a^2}{8},[/tex3]

que também pode ser expressa pela fórmula (semi-perímetro) x (raio da circunferência inscrita):

[tex3]\frac{a+b+PB}{2}\cdot 3=\frac{9a}{2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{a+b+PB}{2}\cdot 3=\frac{9a}{2}.[/tex3]

Então [tex3]\frac{3a^2}{8}=\frac{9a}{2} \Longrightarrow \boxed{a=12}[/tex3]

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[tex3]\frac{3a^2}{8}=\frac{9a}{2} \Longrightarrow \boxed{a=12}[/tex3]

Alternativa C

Problema semelhante resolvido;