Página 1 de 1
(IME/ITA) Inequação com duas variáveis
Enviado: 16 Abr 2024, 14:40
por Jpgonçalves
Determine o valor máximo de [tex3] z = x + 2y[/tex3]
, sabendo-se que
[tex3]x \geq 0, \\
y\geq 0, \\
5x+2y \geq 0, \\
4x-3y \leq 12, \\
7x+9y\leq 63, \\
3x-4y\leq 12.[/tex3]
Re: (IME/ITA) Inequação com duas variáveis
Enviado: 02 Jun 2024, 04:22
por matbatrobin
[tex3]x,y\geq 0\Rightarrow 5x+2y\geq 0[/tex3]
.
[tex3]3x-4y\leq 12 \Leftrightarrow y\geq \frac{3}{4}x-3 \\ 4x-3y\leq 12 \Leftrightarrow y\geq \frac{4}{3}x-4 \\ 7x+9y\leq 63 \Leftrightarrow y\geq 7-x[/tex3]
Portanto, sejam [tex3]x^*,y^*[/tex3]
maximizadores de [tex3]z[/tex3]
, então colocando [tex3]y^*[/tex3]
em função de [tex3]x^*[/tex3]
vale que [tex3]\max\left\{0,\frac{3}{4}x^*-3,\frac{4}{3}x^*-4\right\}\leq y^*(x^*)\leq 7-x^*[/tex3]
. Como [tex3]x=3=y[/tex3]
satisfaz todas as inequações e [tex3]z[/tex3]
é crescente em [tex3]x[/tex3]
e em [tex3]y[/tex3]
, é imediato que [tex3]y^*\geq 3[/tex3]
. Logo, [tex3]\max\left\{3,\frac{4}{3}x^*-4\right\}\leq y^*(x^*)\leq 7-x^*[/tex3]
, o que implica que [tex3]\max\left\{6+x^*,\frac{11}{3}x^*-8\right\}\leq z^*=2y^*+x^*\leq 14-x^*[/tex3]
. Como o valor máximo que [tex3]z[/tex3]
pode assumir decresce em [tex3]x[/tex3]
devido a inequação da direita, temos que é justamente essa inequação que determinará a solução. Portanto, [tex3]x^*=0, y^*=7[/tex3]
e [tex3]z^*=14[/tex3]
.