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Números primos e mdc
Enviado: 04 Abr 2024, 18:15
por papirador
Sabendo que abcd representa um número par, de quatro algarismos e abdc representa um número ímpar, com os mesmos quatro algarismos. Sabe-se ainda que o produto de a, b, c e d vale 30k, com k inteiro positivo, o máximo divisor comum entre os algarismos b e d é a ,ou seja, MDC(b, d)=a e que o produto de √b e d vale a + c. Determine o valor de a+b+c+d.
a)17
b)18
c)19
d)20
e)22
Re: Números primos e mdc
Enviado: 04 Abr 2024, 21:24
por LostWalker
Descrições Iniciais
[tex3]\mbox{I.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30k, ~~k\ne0~~~\therefore~~~\{a,b,c,d\}\ne0[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}~~\{a,b,c,d\}\in\underbrace{\{1,2,3,\cdots,9\}}_{\mbox{Conjunto P}}~~~\therefore~~~a+c=\sqrt b\cdot d\in \mathbb{N}~~~\therefore~~~b=\{1,4,9\}[/tex3]
[tex3]\mbox{III.}~~a\cdot b\cdot c\cdot d=2\cdot3\cdot5\cdot k[/tex3]
Como [tex3]5[/tex3]
é o único múltiplo de [tex3]5[/tex3]
em [tex3]P[/tex3]
, um das variáveis é [tex3]5[/tex3]
, logo, ou [tex3]a[/tex3]
ou [tex3]c[/tex3]
é [tex3]5[/tex3]
[tex3]\mbox{IV.}~~\underbrace{\sqrt{b}\cdot d}_{\mbox{par}}=\underbrace{a+c}_{\mbox{par}}~~~\therefore ~~~ a\mbox{ é impar}[/tex3]
[tex3]\mbox{V.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~\mbox{se a é impar e d é par, b é impar, por II, b é 1 ou 9}[/tex3]
[tex3]\mbox{VI.}~~\MDC(b,d)=a~~~\therefore~~~~ \cases{\mbox{se b = 1 então a = 1}\\\mbox{se b = 9 então a = {1,3}}}[/tex3]
[tex3]\mbox{VII.}~~\mbox{Por III, temos então que c = 5}[/tex3]
Checando Possibilidades
[tex3]\mbox{Se b = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{1}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=6[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=1+5~~~\therefore~~~d=2[/tex3]
[tex3]\mbox{Se b = 9 e a = 3}[/tex3]
[tex3]\sqrt{9}\cdot d=3+5~~~\therefore~~~d=\emptyset [/tex3]
Testando Valores por III
[tex3](a,b,c,d)=(1,1,5,6)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
[tex3](a,b,c,d)=(1,9,5,2)~~~\therefore~~~a\cdot b\cdot c\cdot d=30\cdot3~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Então, temos as somas [tex3]13[/tex3]
e [tex3]17[/tex3]
, mas nenhumas delas corresponde ao gabarito...