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02) Prove que em um triângulo ABC é válida a relação
𝑐𝑜𝑠 2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐶 = −(1 + 4 cos 𝐴. cos 𝐵. cos 𝐶)

Use a fórmula de prostaférese nos dois primeiros termos:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}[/tex3]

.
Mas [tex3]C=\pi-A-B[/tex3]

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[tex3]C=\pi-A-B[/tex3]

, e assim [tex3]\cos{2C}=\cos{(2\pi-2A-2B)}=\cos{(2A+2B)=2{\cos^{2}{(A+B)}-1}}[/tex3]

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[tex3]\cos{2C}=\cos{(2\pi-2A-2B)}=\cos{(2A+2B)=2{\cos^{2}{(A+B)}-1}}[/tex3]

, onde na última igualdade usei a fórmula do arco duplo para o cosseno.
Então a conta inteira fica:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+2{\cos^{2}{(A+B)}-1}=2cos{(A+B)}\cdot(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)})-1[/tex3]

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[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+2{\cos^{2}{(A+B)}-1}=2cos{(A+B)}\cdot(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)})-1[/tex3]

.
Usando prostaférese novamente (ou simplesmente abrindo a soma e subtração de arcos), temos:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cdot(2\cos{A}\cos{B})-1[/tex3]

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[tex3]2\cos{(A+B)}\cdot(2\cos{A}\cos{B})-1[/tex3]

.
Mas [tex3]\cos{(A+B)}=\cos{(\pi-C)}=-\cos{C}[/tex3]

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[tex3]\cos{(A+B)}=\cos{(\pi-C)}=-\cos{C}[/tex3]

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Então a expressão inteira fica:
[tex3]-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1=-(1+4\cos{A}\cos{B}\cos{C})[/tex3]

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[tex3]-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1=-(1+4\cos{A}\cos{B}\cos{C})[/tex3]

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