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Estruturas Algébricas 1
Enviado: 22 Mar 2024, 21:50
por Idocrase
Seja [tex3](D,+,\cdot)[/tex3] um domínio e [tex3]a\in D[/tex3], com [tex3]a\neq0[/tex3]. Mostre que a função [tex3]f_a:D\rightarrow D[/tex3], dada por [tex3]f_a(x)=a\cdot x[/tex3] é injetiva.
Re: Estruturas Algébricas 1
Enviado: 22 Mar 2024, 23:03
por Idocrase
Eu pensei assim, como [tex3]a\neq0[/tex3]
, então dados [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]
podemos supor que [tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow ax_1=ax_2[/tex3]
e então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3]
. Mas nesse caso é correto dizer que além de [tex3]D[/tex3]
ser um domínio ele também é um corpo?
Re: Estruturas Algébricas 1
Enviado: 26 Mar 2024, 18:19
por Idocrase
Conseguir resolver.
Como [tex3]D[/tex3]
é um domínio, então [tex3]D[/tex3]
é um anel comutativo com unidade.
Como [tex3]a\neq0,\forall a\in D[/tex3]
, então todo elemento de [tex3]D[/tex3]
é invertível. Logo, [tex3]D[/tex3]
é um anel com divisão comutativo, ou seja, [tex3]D[/tex3]
é um corpo.
Assim, sejam [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]
e suponha que [tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3]
, então [tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2[/tex3]
Como [tex3]a\neq0[/tex3]
, então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3]
em ambos os lados:
[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2\Rightarrow a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)=a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot x_2=(a^{-1}\cdot a)\cdot x_2\Rightarrow 1\cdot x_1=1\cdot x_2\Rightarrow x_1=x_2[/tex3]
.
Logo, [tex3]f_a[/tex3]
é injetora.