Estude! Com Prof. Caju

Durante a resolução de um problema da cinemática de uma partícula, um jovem cientista encontra que a aceleração 𝑎 é dada pela lei 𝑎 = 𝑘 − 𝑏𝑣, em que 𝑣 é a velocidade da partícula, com 𝑏 e 𝑘 constante positivas a se determinar. Sabe-se que em 𝑡 = 0 a velocidade é nula. Logo, o gráfico que pode representar a velocidade pelo tempo é?


Desde já, agradeço!

[tex3]a = \frac{dv}{dt} = k -bv \iff bv + v' = k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = \frac{dv}{dt} = k -bv \iff bv + v' = k[/tex3]

[tex3]bve^{bt} + v'e^{bt} = ke^{bt} = \frac{d}{dt} (ve^{bt}) \implies ve^{bt} = \frac kb e^{bt} + c[/tex3]

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[tex3]bve^{bt} + v'e^{bt} = ke^{bt} = \frac{d}{dt} (ve^{bt}) \implies ve^{bt} = \frac kb e^{bt} + c[/tex3]

como [tex3]v(0) = 0 \implies 0 = \frac kb + c[/tex3]

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[tex3]v(0) = 0 \implies 0 = \frac kb + c[/tex3]

, temos: [tex3]v = \frac kb (1 - e^{-bt})[/tex3]

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[tex3]v = \frac kb (1 - e^{-bt})[/tex3]

quando [tex3]t=0[/tex3]

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[tex3]t=0[/tex3]

a velocidade é zero e ela vai crescendo até uma assíntota paralela ao eixo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

cujo valor é [tex3]\frac kb[/tex3]

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[tex3]\frac kb[/tex3]

.

um gráfico mais ou menos assim: https://www.wolframalpha.com/input?i=1- ... 29+%3D+0.9