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Função inversa
Enviado: 20 Mar 2024, 18:53
por Caduzin3445
Seja a função f de A= { X E IR/X<-1} em B= {y E IR/ y>=1} definida por f(x)= sqrt(x²+2x+2). Qual é o valor do domínio de f^-1 com imagem 3.?
Gab: sqrt(17)
Eu fiz e achei sqrt(2)+1, n entendi onde errei. Primeiramente substitui os valores e achei a função inversa como sendo sqrt(x-1)+1.
Re: Função inversa
Enviado: 22 Mar 2024, 11:52
por ProfLaplace
Opa, tudo bem?
Eu até sei como se chegaria no valor de [tex3]\sqrt{17}[/tex3]
mas, independente disso, a questão parece ter algum erro. Poderia conferir o enunciado por favor?
Pois veja: o contra-domínio de [tex3]f^{-1}[/tex3]
é [tex3]A[/tex3]
. Mas [tex3]3\notin A[/tex3]
, então não tem como 3 estar na imagem de [tex3]f^{-1}[/tex3]
. Outro problema é que f, definida desta forma, não é sobrejetora.
Re: Função inversa
Enviado: 23 Mar 2024, 12:21
por Caduzin3445
Irei colocar o enunciado aq.
Re: Função inversa
Enviado: 23 Mar 2024, 12:23
por Caduzin3445
Caduzin3445 escreveu: ↑20 Mar 2024, 18:53
Seja a função f de A= { X E IR/X<-1} em B= {y E IR/ y>=1} definida por f(x)= sqrt(x²+2x+2). Qual é o valor do domínio de f^-1 com imagem 3.?
Gab: sqrt(17)
Eu fiz e achei sqrt(2)+1, n entendi onde errei. Primeiramente substitui os valores e achei a função inversa como sendo sqrt(x-1)+1.
Re: Função inversa
Enviado: 23 Mar 2024, 18:18
por ProfLaplace
Ah ok. Você tinha digitado o conjunto A errado hehe. Isso pelo menos já torna a função f bijetora e é um problema a menos. De qualquer forma, ainda vejo uma inconsistência no enunciado. Pra mim, o conjunto [tex3]A[/tex3]
teria que ser corrigido para [tex3]A=\{x\in\mathbb{R}/x\geq-1\}[/tex3]
, para que de fato [tex3]\sqrt{17}[/tex3]
seja a resposta certa.
Mas vou te dar a resposta que o livro está esperando ok? (Lembrando que pra mim o conjunto [tex3]A[/tex3]
do enunciado precisaria ser corrigido).
É só lembrar da propriedade [tex3]f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)[/tex3]
.
Sendo [tex3]k[/tex3]
o valor do domínio de [tex3]f^{-1}[/tex3]
com imagem 3, podemos escrever que [tex3]f^{-1}(k)=3[/tex3]
. Usando a propriedade que eu falei, temos que [tex3]k=f(3)[/tex3]
. Assim fica fácil achar seu valor:
[tex3]k=f(3)=\sqrt{3^{2}+2\cdot 3 +2}=\sqrt{17}[/tex3]
.
Essa é a solução mais simples que tem, e não exige que você encontre a expressão de [tex3]f^{-1}[/tex3]
.
De qualquer forma, também dá para fazer encontrando a função inversa. Com a correção do enunciado que eu disse, a função inversa é [tex3]f^{-1}(x)=\sqrt{x^{2}-1}-1[/tex3]
. Você pode tentar fazer desse outro jeito também para treinar. É um pouco mais trabalhoso, mas você chega na mesma resposta de [tex3]\sqrt{17}[/tex3]
.
Re: Função inversa
Enviado: 23 Mar 2024, 18:23
por Caduzin3445
ProfLaplace escreveu: ↑23 Mar 2024, 18:18
Ah ok. Você tinha digitado o conjunto A errado hehe. Isso pelo menos já torna a função f bijetora e é um problema a menos. De qualquer forma, ainda vejo uma inconsistência no enunciado. Pra mim, o conjunto [tex3]A[/tex3]
teria que ser corrigido para [tex3]A=\{x\in\mathbb{R}/x\geq-1\}[/tex3]
, para que de fato [tex3]\sqrt{17}[/tex3]
seja a resposta certa.
Mas vou te dar a resposta que o livro está esperando ok? (Lembrando que pra mim o conjunto [tex3]A[/tex3]
do enunciado precisaria ser corrigido).
É só lembrar da propriedade [tex3]f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)[/tex3]
.
Sendo [tex3]k[/tex3]
o valor do domínio de [tex3]f^{-1}[/tex3]
com imagem 3, podemos escrever que [tex3]f^{-1}(k)=3[/tex3]
. Usando a propriedade que eu falei, temos que [tex3]k=f(3)[/tex3]
. Assim fica fácil achar seu valor:
[tex3]k=f(3)=\sqrt{3^{2}+2\cdot 3 +2}=\sqrt{17}[/tex3]
.
Essa é a solução mais simples que tem, e não exige que você encontre a expressão de [tex3]f^{-1}[/tex3]
.
De qualquer forma, também dá para fazer encontrando a função inversa. Com a correção do enunciado que eu disse, a função inversa é [tex3]f^{-1}(x)=\sqrt{x^{2}-1}-1[/tex3]
. Você pode tentar fazer desse outro jeito também para treinar. É um pouco mais trabalhoso, mas você chega na mesma resposta de [tex3]\sqrt{17}[/tex3]
.
Obg pela sua solução, eu quase acertei kkkkkkk. Acabei botando apenas sqrt(x-1)-1