Polinomio
Enviado: 06 Mar 2024, 10:30
O polinomio p(x)=x³+ax²+bx+c,com a,b,c reais, admite as raizes 1 e i. Então a-b+c é?
Gab:-3
Gab:-3
Pelo Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, se i é raiz de P(x), logo, -i, que é conjugado de i, também é raiz de P(x).
Pela forma fatorada de um polinômio de grau 3: [tex3]P(x)=\beta(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3]
, sendo [tex3]\beta[/tex3]
o coeficiente do termo de maior grau de P(x). Como [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]
, logo, [tex3]\beta=1[/tex3]
.
Sendo [tex3](-i,i,1)[/tex3]
raízes de P(x), tem-se: [tex3]P(x)=(x-1)(x-i)(x+i)=x^3-x^2+x-1[/tex3]
.
Comparando termo a termo [tex3]P(x)=x^3-x^2+x-1[/tex3]
com [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]
, encontra-se [tex3](a,b,c)=(-1,1,-1)[/tex3]
.
Assim: [tex3]a-b+c=-1-1-1\ \therefore\ \boxed{a-b+c=-3}[/tex3]
.