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Equações diferenciais
Enviado: 17 Jan 2024, 14:08
por JOAODESOUSA
Resolva o PVI:
[tex3]\begin{cases}
dp/dt=Ap^{\frac{2}{3}} -Bp\\
p(0)=0
\end{cases}[/tex3]
onde [tex3]AB\neq0 [/tex3]
. Calcule
lim p(t)
t-->[tex3]\infty [/tex3]
Re: Equações diferenciais
Enviado: 17 Jan 2024, 14:59
por FelipeMartin
[tex3]\frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} = dt[/tex3]
[tex3]t = \int_0^P \frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} [/tex3]
Fazemos [tex3]u = p^{\frac13} \implies du =\frac13p^{-\frac23} dp \implies dp = 3u^2 du [/tex3]
[tex3]t = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3u^2du}{Au^2-Bu^3} = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3du}{A-Bu} = -\frac{3}B[\ln(A-B\sqrt[3]P) - \ln(A)] = [/tex3]
[tex3]\frac{Bt}3 = \ln (\frac{A}{A-B\sqrt[3]{P}})[/tex3]
quando [tex3]t \to \infty[/tex3]
, o lado esquerdo vai pra infinito, isso significa que o lado direito vai pra infinito, ou seja, o denominador do log vai pra zero:
[tex3]P \to \frac{A^3}{B^3}[/tex3]