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Provas da irracionalidade de um número
Enviado: 30 Dez 2023, 14:32
por DudaS
O decimal 0,101001000100001..., em que os 1 são seguidos sucessivamente por blocos. cada vez maiores de 0, parece não ser periódico e portanto define um número irracional. Construa um argumento que converta essa impressão em certeza. Sugestão: suponha que o decimal seja periódico.
Se alguém puder me ajudar a formular essa demonstração, agradeço desde já!
Re: Provas da irracionalidade de um número
Enviado: 30 Dez 2023, 15:16
por FelipeMartin
Um jeito difícil:
Vamos contar quantos números [tex3]0[/tex3]
existem após [tex3]n[/tex3]
algarismos à direita. Seja [tex3]f(n)[/tex3]
esse número definido para [tex3]n \in \{ 1,2,3,...\}[/tex3]
. Temos [tex3]f(1) =0, f(2) =1[/tex3]
etc.
[tex3]f(n+1) = \begin{cases}
f(n)+1, \text{se o n-ésimo +1 algarismo for 0} \\
f(n), \text{se o n-ésimo+1 algarismo for 1}
\end{cases} [/tex3]
quais algarismos são [tex3]1[/tex3]
? [tex3]1,3,6,10,15,...[/tex3]
, os números triangulares, da forma [tex3]\frac{m(m+1)}2[/tex3]
para [tex3]m \in \{1,2,3,4,...\}[/tex3]
. Então [tex3]f[/tex3]
tem a seguinte forma: vai subindo desde [tex3]0[/tex3]
em [tex3]1[/tex3]
por um até se repetir quando [tex3]n[/tex3]
for um número triangular positivo.
De forma geral, [tex3]f(n) = n - g(n)[/tex3]
sendo [tex3]g(n)[/tex3]
o número de números triangulares positivos entre [tex3]1[/tex3]
e [tex3]n[/tex3]
:
[tex3]f(n) = n - \lfloor \frac12(\sqrt{8n+1} -1) \rfloor[/tex3]
Suponha que exista um período com [tex3]N[/tex3]
dígitos:
[tex3]0.\overline{101001...0}[/tex3]
com [tex3]N[/tex3]
dígitos, olhemos pra segunda célula dessa repetição:
[tex3]0.101001...0\overline{101001...0}[/tex3]
Em havendo periodicidade, deveríamos ter a mesma quantidade de zeros entre [tex3]1[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
e entre [tex3]N+1[/tex3]
e [tex3]2N[/tex3]
, ou seja:
[tex3]f(2N) - f(N) = f(N) \implies f(2N) = 2f(N)[/tex3]
vejamos:
[tex3]2N - \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2N - 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
[tex3] \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
cujas únicas soluções é [tex3]N = 2[/tex3]
, mas, claramente esse número não tem período [tex3]0.10[/tex3]
.
Prova: sabemos que [tex3]\lfloor y \rfloor =2\lfloor x \rfloor \implies |\frac y2 -x | <1[/tex3]
, então:
[tex3]|\frac14(\sqrt{16N+1} -1) - \frac12(\sqrt{8N+1} -1) |<1[/tex3]
resolvendo isso, você vai ter [tex3]N <\frac{9+5\sqrt3}2 < 9[/tex3]
Basta checar que nenhum dos primeiros números da forma: [tex3]0.1,0.10,0.101,0.1010,...[/tex3]
não servem como período.
Re: Provas da irracionalidade de um número
Enviado: 30 Dez 2023, 16:19
por FelipeMartin
dei uma editada, acho que agora está ok. Veja se você concorda.