Dúvida continuidade de derivadas
Enviado: 28 Out 2023, 15:57
Boa tarde, pessoal! Não sei se posso postar dúvidas avulsas aqui, mas estou com essa dúvida a um tempo e não consigo encontrar alguém que realmente a entenda e possa me responder. Caso alguém possa me ajudar.
A minha pergunta é, suponha que você tenha uma função F derivável em um intervalo aberto (a, b), será verdade que a função derivada f dessa função nesse intervalo (a, b) será continua? Sabemos que a função derivada será definida nesse intervalo, mas ela será contínua?
Supondo um ponto C qualquer dentro de (a, b), de derivada d, queremos provar que f (a função derivada de F) é contínua em C. Pensei nisso, pois, primeiro, se tomarmos um ponto D a direita de C e ainda no intervalo (a, b) e traçarmos CD, obtemos uma reta secante ao gráfico de inclinação m. Sabemos que pelo Teorema do Valor Médio vai existir um ponto P em (C, D) em que a derivada seja m. Ou seja, a imagem de f em P é m. Como aquele “limite que define a derivada” vai existir em C, existe um outro ponto E (à direita de C), mais próximo de C que D, de modo que a inclinação n da reta CE será mais próxima de d do que m é próxima de d. Então, vai existir um ponto Q em (C, E) que tenha derivada n. Ou seja, obtemos na função f um ponto mais próximo de C que tenha uma imagem mais próxima da imagem d de C em f. Assim, se continuarmos fazendo esse processo, sempre vamos obter um ponto mais próximo de C cuja imagem em f é mais próxima de d (a imagem de C em f). Desse modo, talvez, o limite de f quando x tende a C pela direita seja exatamente f(C)=d. Entretanto, acredito que isso não prova totalmente a questão pois embora sabemos que sempre vai existir pontos cada vez mais próximos de C em f que tenham imagem cada vez mais próxima de d, não podemos garantir, por exemplo, que todo x pertencente ao intervalo (C, Q] tenha derivada mais próxima de d que m e isso fere a definição formal de limites pois teríamos que ter tal intervalo. Entendem? Acho que essa é a única coisa que fere essa minha demonstração. A minha dúvida é pois esses pontos cada vez mais próximos de C com imagem cada vez mais próxima de d poderiam ocorrer de forma isolada no gráfico de f e entre eles o gráfico de f tomar direções completamente diferentes. Pensei no caso como se f fosse totalmente descontínua até chegar em C com pontos totalmente separados (tipo aquela função que é 0 se x é racional e 1 se x é irracional) nem sei se isso é possível. Se conseguirmos provar que existe um intervalo (C, W) que tenha derivada mais próxima de d que m, terminamos a prova. Faz sentido?
Obrigada qualquer ajuda. Desculpa a extensão.
A minha pergunta é, suponha que você tenha uma função F derivável em um intervalo aberto (a, b), será verdade que a função derivada f dessa função nesse intervalo (a, b) será continua? Sabemos que a função derivada será definida nesse intervalo, mas ela será contínua?
Supondo um ponto C qualquer dentro de (a, b), de derivada d, queremos provar que f (a função derivada de F) é contínua em C. Pensei nisso, pois, primeiro, se tomarmos um ponto D a direita de C e ainda no intervalo (a, b) e traçarmos CD, obtemos uma reta secante ao gráfico de inclinação m. Sabemos que pelo Teorema do Valor Médio vai existir um ponto P em (C, D) em que a derivada seja m. Ou seja, a imagem de f em P é m. Como aquele “limite que define a derivada” vai existir em C, existe um outro ponto E (à direita de C), mais próximo de C que D, de modo que a inclinação n da reta CE será mais próxima de d do que m é próxima de d. Então, vai existir um ponto Q em (C, E) que tenha derivada n. Ou seja, obtemos na função f um ponto mais próximo de C que tenha uma imagem mais próxima da imagem d de C em f. Assim, se continuarmos fazendo esse processo, sempre vamos obter um ponto mais próximo de C cuja imagem em f é mais próxima de d (a imagem de C em f). Desse modo, talvez, o limite de f quando x tende a C pela direita seja exatamente f(C)=d. Entretanto, acredito que isso não prova totalmente a questão pois embora sabemos que sempre vai existir pontos cada vez mais próximos de C em f que tenham imagem cada vez mais próxima de d, não podemos garantir, por exemplo, que todo x pertencente ao intervalo (C, Q] tenha derivada mais próxima de d que m e isso fere a definição formal de limites pois teríamos que ter tal intervalo. Entendem? Acho que essa é a única coisa que fere essa minha demonstração. A minha dúvida é pois esses pontos cada vez mais próximos de C com imagem cada vez mais próxima de d poderiam ocorrer de forma isolada no gráfico de f e entre eles o gráfico de f tomar direções completamente diferentes. Pensei no caso como se f fosse totalmente descontínua até chegar em C com pontos totalmente separados (tipo aquela função que é 0 se x é racional e 1 se x é irracional) nem sei se isso é possível. Se conseguirmos provar que existe um intervalo (C, W) que tenha derivada mais próxima de d que m, terminamos a prova. Faz sentido?
Obrigada qualquer ajuda. Desculpa a extensão.