(ITA-1959) Produto das raízes da equação
Enviado: 02 Out 2023, 17:38
PARTE - I
Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[p]{x}-1}=\frac{p}{n}[/tex3]
2 – Na equação [tex3]x^3+ax^2+bx-\sqrt{2}=0[/tex3] , existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro.
3 – [tex3]log_a3+log_a\frac{3}{3a-1}+1=log_a(3+\frac{3}{3a-1})[/tex3] , qualquer que seja a > 0, [tex3]a\neq 1[/tex3] , [tex3]a\neq \frac{1}{3}[/tex3] .
4 – Se existirem x e y tais que [tex3]x>y[/tex3] e [tex3]a^x<a^y[/tex3] , [tex3](a>0)[/tex3] , então, existem z e w tais que [tex3]z>w[/tex3] e [tex3]a^z>a^w[/tex3] .
5 – [tex3](1+x)^n\geq 1+nx[/tex3] onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a -1.
1) Resposta: Verdadeira.
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Falsa.
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Verdadeira.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.
OBS = Também mantive os cinco itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço. Por questão de didática, seria interessante (para quem souber) justificar as alternativas Falsas também.
Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[p]{x}-1}=\frac{p}{n}[/tex3]
2 – Na equação [tex3]x^3+ax^2+bx-\sqrt{2}=0[/tex3] , existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro.
3 – [tex3]log_a3+log_a\frac{3}{3a-1}+1=log_a(3+\frac{3}{3a-1})[/tex3] , qualquer que seja a > 0, [tex3]a\neq 1[/tex3] , [tex3]a\neq \frac{1}{3}[/tex3] .
4 – Se existirem x e y tais que [tex3]x>y[/tex3] e [tex3]a^x<a^y[/tex3] , [tex3](a>0)[/tex3] , então, existem z e w tais que [tex3]z>w[/tex3] e [tex3]a^z>a^w[/tex3] .
5 – [tex3](1+x)^n\geq 1+nx[/tex3] onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a -1.
Resposta
1) Resposta: Verdadeira.
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Falsa.
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Verdadeira.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.