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(ITA-1950) Determinante
Enviado: 09 Set 2023, 11:50
por Jigsaw
Calcule o determinante
[tex3]\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 8 \\
4 & 7 & -5 \\
-6 & 2 & 10 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
e explique o significado dos determinantes na resolução de um sistema de equações simultâneas.
OBS = Também mantive os dois itens da questão mesmo contrariando as regras do Forum, no sentido de manter a originalidade da questão.
Re: (ITA-1950) Determinante
Enviado: 24 Out 2023, 21:01
por LostWalker
Calculo de Determinante
Poderíamos calcular direto? Poderíamos. Vamos simplificar antes disso? Sim.
[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]\cases{\,\,\mbox{II}=\mbox{II}+\mbox{I}\\\mbox{III}\,=\mbox{III}-2\mbox{I}}[/tex3]
[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}[/tex3]
Agora, vamos aplicar Sarrus:
[tex3]\det\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}=\begin{matrix}(-3)\cdot7\cdot(-6)+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot3\cdot0}}+8\cdot1\cdot2\\-\[(-3)\cdot3\cdot2+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot1\cdot(-6)}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}8\cdot7\cdot0}}\]\end{matrix}=126+16+18=\boxed{160}[/tex3]
Significado dos Determinantes
No caso de sistema de equações simultâneas, estamos falando de:
[tex3]\begin{bmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]
Quando aplicamos a multiplicação à direita, teremos:
[tex3]\begin{bmatrix}-3x+0y+8z\\4x+7y-5z\\-6x+2y+10z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]
Nisso, podemos dizer que:
[tex3]\cases{\,\,\,-3x+0y+8z=S_1\\~~~~~4x+7y-5z=S_2\\-6x+2y+10z=S_3}[/tex3]
}[/tex3]
O cálculo do determinante nos orienta sobre o sistema ser SPD (caso determinante seja diferente de zero) ou que seja SI ou SPI (caso seja igual a zero).