Estude! Com Prof. Caju

Uma partícula A com carga elétrica +Q encontra-se
fixa ao ponto mais baixo de um aro circular de raio R
localizado num plano vertical. Outra partícula B de
carga +Q e massa m encontra-se livre para se mover
apoiada internamente sobre a superfície lisa desse
aro. Sabendo que a gravidade local vale g e a
constante eletrostática do meio vale K, o prof.
Renato Brito pede que você determine:
a) a distância entre as partículas A e B na posição de
equilíbrio estático de B;
b) a força de contato que o aro circular exerce na
partícula B nessa posição.

MilkShake, no desenho eu tracei no ponto B, como retas pontilhadas, a direção tangencial e a direção radial (ou seja, a direção normal). Também defini os ângulos [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

e [tex3]\phi.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi.[/tex3]

A força de repulsão é [tex3]F_e=\frac{KQ^2}{d^2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_e=\frac{KQ^2}{d^2}.[/tex3]

Equilíbrio de forças na direção tangencial: [tex3]F_e \sin(\phi)=mg \sin(\theta).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_e \sin(\phi)=mg \sin(\theta).[/tex3]

(1)

Temos [tex3]2\phi+\theta=180 \degree \Longrightarrow \phi=90\degree-\frac{\theta}{2} \Longrightarrow \sin(\phi)=\cos(\theta/2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\phi+\theta=180 \degree \Longrightarrow \phi=90\degree-\frac{\theta}{2} \Longrightarrow \sin(\phi)=\cos(\theta/2).[/tex3]

Ademais, com trigonometria simples no triângulo isósceles, você pode ver que [tex3]d=2R \sin(\theta/2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=2R \sin(\theta/2).[/tex3]

Então plugando isso na equação (1):

[tex3]\frac{KQ^2}{4R^2 \sin^2(\theta/2)} \cos(\theta/2)=mg \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) \Longrightarrow \frac{KQ^2}{R^2}=8mg\sin^3(\theta/2)=8mg \cdot \frac{d^3}{8R^3} \Longrightarrow \boxed{d=\left(\frac{KQ^2R}{mg}\right)^{1/3}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{KQ^2}{4R^2 \sin^2(\theta/2)} \cos(\theta/2)=mg \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) \Longrightarrow \frac{KQ^2}{R^2}=8mg\sin^3(\theta/2)=8mg \cdot \frac{d^3}{8R^3} \Longrightarrow \boxed{d=\left(\frac{KQ^2R}{mg}\right)^{1/3}} [/tex3]

Equilíbrio de forças na direção normal:

[tex3]N=mg\cos(\theta)+F_e \cos(\phi)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=mg\cos(\theta)+F_e \cos(\phi)[/tex3]

(2)

Usando a equação (1):

[tex3]N=mg\cos(\theta)+mg \sin(\theta)\frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)}=mg\left(\cos(\theta)+\frac{\sin(\theta)}{\tan(\phi)}\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=mg\cos(\theta)+mg \sin(\theta)\frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)}=mg\left(\cos(\theta)+\frac{\sin(\theta)}{\tan(\phi)}\right).[/tex3]

Sabemos que [tex3]\tan(\phi)=\frac{1}{\tan(\theta/2)},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan(\phi)=\frac{1}{\tan(\theta/2)},[/tex3]

daí:

[tex3]N=mg\left(2\cos^2(\theta/2)-1+\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{1/\tan(\theta/2)}\right)=mg\left(2(\sin^2(\theta/2)+\cos^2(\theta/2))-1\right) \Longrightarrow \boxed{N=mg}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=mg\left(2\cos^2(\theta/2)-1+\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{1/\tan(\theta/2)}\right)=mg\left(2(\sin^2(\theta/2)+\cos^2(\theta/2))-1\right) \Longrightarrow \boxed{N=mg}[/tex3]