Números e funções reais
Enviado: 09 Set 2022, 16:48
Pessoal, boa tarde. Como posso estar resolvendo essas questões? Também aceito materiais de soluções de exercícios parecidos para eu ganhar base nessa matéria.
a) o domínio da função real [tex3]f[/tex3], definida por [tex3]f(x)=\sqrt{x\over 2-x}[/tex3] é [tex3][0,2)[/tex3].
Sabemos que o argumento de uma raiz deve ser não-negativo. Portanto:
[tex3]{x\over2-x}\geq 0[/tex3]
Para que uma fração seja maior que zero, o numerador e denominador devem ter o mesmo sinal. Representando o sinal de ambos:
- x vs 2 menos x vs 1soutro.png (7.67 KiB) Exibido 474 vezes
A imagem de função real [tex3]f[/tex3], definida por [tex3]f(x)=4-x^2[/tex3] é o intervalo [tex3](-\infty,4].[/tex3]
Temos que:
[tex3]x^2\geq 0[/tex3]
[tex3]-x^2\leq 0[/tex3]
[tex3]4-x^2\leq 4[/tex3]
Portanto, a imagem é [tex3](-\infty,4][/tex3]
Se [tex3]f(x)={x^2\over x-2}[/tex3], então [tex3]f(2)=4[/tex3].
Temos que:
[tex3]f(2)={2^2\over 2-2}={4\over 0}[/tex3]
Como divisão por zero não está definida, então [tex3]f(x)[/tex3] não está definida para [tex3]x=2[/tex3] .
A função [tex3]f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] definida por [tex3]f(x)=x^2[/tex3] é injetora.
Uma função é injetora se cada elemento do contradomínio for imagem de apenas um elemento. Em outras palavras, valores diferentes do domínio produzem valores diferentes da função. Podemos expressar esta ideia na seguinte proposição:
Seja então [tex3]a,b\in \mathbb{R}^+[/tex3] . Temos:Uma função é injetora no intervalo [tex3]A[/tex3] se, dados [tex3]a,b\in A[/tex3] , tais que [tex3]f(a)=f(b)[/tex3] , [tex3]a=b[/tex3]
[tex3]f(a)=f(b)[/tex3]
[tex3]a^2=b^2[/tex3]
[tex3]\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}[/tex3]
[tex3]|{a}|=|{b}|[/tex3]
Como [tex3]a,b\in\mathbb{R}^+[/tex3] , então [tex3]a,b\geq 0[/tex3] , portanto:
[tex3]a=b[/tex3]
Logo, a função é injetora no intervalo [tex3]\mathbb{R}^+[/tex3].