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(FUVEST - 2012) Geometria Espacial
Enviado: 12 Jun 2022, 06:58
por ÁguiaB
Em um tetraedro regular de lado [tex3]a[/tex3]
, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
a) a√3
b) a√2
c) (a√3)/2
d) (a√2)/2
e)(a√2)/4
Eu entendi a resolução, mas queria saber o que me garante que esses ângulos da figura são retos e não outros valores.
Re: (FUVEST - 2012) Geometria Espacial
Enviado: 12 Jun 2022, 10:32
por LostWalker
Simetria
A garantia se dá justamente pela simetria. Quando lidamos com objetos espaciais, é normal usarmos linhas para medições, e elas acabam criando planos imaginários, da mesma forma que criam formas.
Seguindo essa ideia, pense no plano composto por [tex3]ABC[/tex3]
, sabemos com certeza que, se traçarmos a reta [tex3]MC[/tex3]
, o ponto [tex3]D[/tex3]
acaba por se projetar em cima dessa reta (Ou seja, se você olhar de cima para o plano [tex3]ABC[/tex3]
, verá que o ponto [tex3]D[/tex3]
se projeta em cima de [tex3]MC[/tex3]
, e já sabemos por simetria que [tex3]\angle AMC=\angle BMC=90^\circ[/tex3]
(afinal, o triângulo [tex3]ABC[/tex3]
é equilátero e a reta [tex3]CM[/tex3]
o divide em dois triângulos retângulos).
Como [tex3]D[/tex3]
está em [tex3]CM[/tex3]
quando projetado no plano [tex3]ABC[/tex3]
, então o recolocando na altura inicial, ele formará os ângulos de [tex3]\angle AMD=\angle BMD=90^\circ[/tex3]
, provando assim que são retos.
A mesma ideia pode ser aplica para os ângulos retos em [tex3]N[/tex3]
. Nos beneficiamos que o tetraedro e regular, o que nos garante que esses ângulos retos se encontram na medianas.
Re: (FUVEST - 2012) Geometria Espacial
Enviado: 12 Jun 2022, 10:52
por petras
ÁguiaB,
Segue a visão espacial que fica mais fácil de entender
ABN é isósceles. nm é o segmento que une o vértice ao ponto médio da base portanto será a altura , consequentemente será uma perpendicular.
O mesmo vale para An no triângulo ACD que é equilátero