Desenho e Concessões
Eu demorei um pouco para encontrar a resposta, mas como você deixou o gab, achei uma ideia bem direta para a resposta. Vamos iniciar posicionando as 3 cargas e desenhando as forças:
- Estrostática.png (34.75 KiB) Exibido 999 vezes
A Força Elétrica da carga causada por [tex3]-Q_3[/tex3]
(Azul) precisa ser igual a Força Elétrica resultante (Vermelho) das cargas [tex3]Q_1[/tex3]
e [tex3]Q_2[/tex3]
.
Como essa figura se trata de um círculo de raio [tex3]D[/tex3]
, cuja o diâmetro se posiciona de [tex3]Q_1[/tex3]
a [tex3]Q_2[/tex3]
, o ponto [tex3]P[/tex3]
forma o ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3]
, logo nós podemos visualizar o triângulo das forças da seguinte forma:
- Estrostática 2.png (37.02 KiB) Exibido 999 vezes
Numericamente, os valores são os mesmos.
Trigonometria
Vamos arbitrariamente escolher a força [tex3]F_{qQ_1}[/tex3]
. Tomando o ângulo verde [tex3]\theta[/tex3]
, sabemos que:
[tex3]\cos(\theta)=\frac{F_{qQ_1}}{F_{qQ_3}}[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)=\frac{\frac{kqQ_1}{x^2}}{\frac{kqQ_3}{D^2}}[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_1}{x^2}\cdot\frac{D^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_3}[/tex3]
Olha agora o triângulo maior, podemos dizer que [tex3]x=2D\cdot\cos(\theta)[/tex3]
:
[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}x^2}[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}\[2D\cdot\cos(\theta)\]^2}[/tex3]
[tex3]\cos^3(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}{4\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos(\theta)={\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]
Analogamente e Conclusão
Analogamente, podemos dizer que:
[tex3]\boxed{\sen(\theta)={\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]
E pela Lei Fundamental da Trigonometria:
[tex3]\cos^2(\theta)+\sen^2(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac23}+\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac23}=1~~~~\mbox{d.q.d.}}[/tex3]