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Geometria Analítica - Equação paramétrica da circunferência
Enviado: 11 Fev 2022, 13:17
por 39mello
Pede-se:
a) Determine as equações paramétricas da circunferência de equação [tex3]x^{2}[/tex3] − 4x + [tex3]y^{2}[/tex3] − 6y + 8 = 0.
b) Calcule a distância entre o centro da circunferência do item anterior e a reta cuja equação cartesiana é y = −2x + 2. Conclua que esta reta é tangente a circunferência.
Re: Geometria Analítica - Equação paramétrica da circunferência
Enviado: 24 Fev 2022, 21:53
por danjr5
Olá 39mello!
Para solucionar o item a, precisamos completar o quadrado... Segue:
[tex3]\\ \mathtt{x^2 - 4x + y^2 - 6y + 8 = 0} \\ \mathtt{(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 8 = 0} \\ \mathtt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5} \\ \boxed{\mathtt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (\sqrt{5})^2}}[/tex3]
Isto é, a circunferência está centrada no ponto [tex3]\mathtt{(2, 3)}[/tex3]
e possui [tex3]\mathtt{r = \sqrt{5}}[/tex3]
.
Sabe-se que uma circunferência [tex3]\mathtt{\pi}[/tex3]
, com coordenadas [tex3]\mathtt{x}[/tex3]
e [tex3]\mathtt{y}[/tex3]
, tem como equação paramétrica, [tex3]\mathtt{\forall \, t \in \mathbb{R}}[/tex3]
:
[tex3]\\ \mathtt{\pi} : \begin{cases} \mathtt{x = x_o + r \cos t} \\ \mathtt{y = y_o + r \sin t} \end{cases} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{\pi} : \begin{cases} \mathtt{x = 2 + \sqrt{5} \cos t} \\ \mathtt{y = 3 + \sqrt{5} \sin t} \end{cases}}}[/tex3]
Por conseguinte, determinamos a intersecção entre a circunferência e a reta... Substituindo a equação da reta na equação da circunferência,
[tex3]\\ \mathtt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5} \\ \mathtt{(x - 2)^2 + (- 2x + 2 - 3)^2 = 5} \\ \mathtt{x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 5} \\ \mathtt{5x^2 = 0} \\ \boxed{\mathtt{x = 0}}[/tex3]
Com efeito,
[tex3]\\ \mathtt{y = - 2x + 2} \\ \mathtt{y = 0 + 2} \\ \boxed{\mathtt{y = 2}}[/tex3]
Isto é, [tex3]\mathtt{(0, 2)}[/tex3]
é o ponto de interseção!! Portanto, a distância entre esse ponto e o centro da circunferência é... (raio)!
[tex3]\\ \mathtt{d = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 3)^2}} \\ \mathtt{d = \sqrt{4 + 1}} \\ \boxed{\boxed{\mathtt{d = r = \sqrt{5}}}}[/tex3]
Vimos que a intersecção entre a circunferência e a reta é ponto [tex3]\mathtt{(0, 2)}[/tex3]
. Portanto, esse ponto passa pela reta em questão. Determinemos o coeficiente angular da reta tangente à circunferência e que passa pelo ponto de intersecção encontrado.
Derivemos implicitamente a equação da circunferência:
[tex3]\\ \mathtt{x^2 - 4x + y^2 - 6y + 8 = 0} \\\\ \mathtt{2x - 4 + 2y \, \frac{dy}{dx} - 6 \, \frac{dy}{dx} + 0 = 0} \\\\ \mathtt{\left( 2y - 6 \right) \frac{dy}{dx} = - 2x + 4 \qquad \qquad \div 2} \\\\ \boxed{\mathtt{\frac{dy}{dx} = \frac{- x + 2}{y - 3}}} \\\\ \mathtt{\frac{dy}{dx}|_{(0, 2)} = \frac{2}{2 - 3}} \\\\ \boxed{\mathtt{\frac{dy}{dx} |_{(0, 2)} = - 2}}[/tex3]
Daí,
[tex3]\\ \mathtt{y - y_o = m(x - x_o)} \\ \mathtt{y - 2 = - 2(x - 0)} \\ \boxed{\mathtt{y = - 2x + 2}}[/tex3]
Espero ter ajudado!
Bons estudos.