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Indução Matemática
Enviado: 05 Jan 2022, 12:27
por Idocrase
Demonstre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = (n+1)(4 + 3n)/2
Eu não sei onde eu errei, mas no final eu cheguei que 3n² + 13n + 10 = 3n² + 11n + 10. Alguém me ajuda por favor?
Re: Indução Matemática
Enviado: 10 Jan 2022, 21:25
por goncalves3718
Sendo [tex3]n=1[/tex3]
:
[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]
(VERDADE)
Sendo [tex3]n=2[/tex3]
, também verificamos a validade da igualdade, podemos então tentar provar a nossa hipótese para todo número natural [tex3]n[/tex3]
Hipótese de indução ([tex3]n=k)[/tex3]
[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]
Para [tex3]n = k+1[/tex3]
[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]
[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]
[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]
Logo, a hipótese de indução foi provada : )
Caso não tenha entendido alguma parte pode falar!
Re: Indução Matemática
Enviado: 14 Jan 2022, 21:53
por goncalves3718
goncalves3718 escreveu: ↑10 Jan 2022, 21:25
Sendo [tex3]n=1[/tex3]
:
[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]
(VERDADE)
Sendo [tex3]n=2[/tex3]
, também verificamos a validade da igualdade, podemos então tentar provar a nossa hipótese para todo número natural [tex3]n[/tex3]
Hipótese de indução ([tex3]n=k)[/tex3]
[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]
Para [tex3]n = k+1[/tex3]
[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]
[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]
[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]
Logo, a hipótese de indução foi provada : )
Caso não tenha entendido alguma parte pode falar!
Peço desculpas pelo equívoco. A prova não está correta, já que eu só desenvolvi os membros da igualdade.
Vamos lá:
Para [tex3]n=k[/tex3]
, temos:
[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]
e queremos provar que quando [tex3]n=k+1[/tex3]
, a soma [tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2}[/tex3]
.
Vamos lá!!
[tex3]2+5 + ... (2+3k) + [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 3k + 5= \dfrac{(k+1)(4+3k)+ 6k+10}{2} [/tex3]
Fazendo a distributiva:
[tex3]\dfrac{4k+3k^2+4+3k+6k+(4+6)}{2} = \dfrac{4k+3k^2+3k +6k+(4+4) + 6}{2} = \dfrac{k(4+3k+3)+ 2(3k+4+3)}{2}[/tex3]
Agrupando:
[tex3]\dfrac{(4+3k+3)(k+2)}{2} = \dfrac{(4+3(k+1))(k+2)}{2}[/tex3]
, como queríamos provar.