Página 2 de 9
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 30 Set 2020, 12:01
por Deleted User 25040
Solução do Problema 10
1º) x e y são quadrados perfeitos [tex3]x=m^2[/tex3]
e [tex3]y=n^2[/tex3]
dai [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y}=1980[/tex3]
[tex3]m+n=1980[/tex3]
n tenho experiencia com equações diofantinas mas vou tentar deixar de um jeito interessante [tex3]m = t[/tex3]
, dai [tex3]t+n=1980\iff n=1980-t[/tex3]
então vamos ter soluções do tipo [tex3](x, y) = (t^2, (1980-t)^2)[/tex3]
com t inteiro maior que 1 e menor que 1980
2º) suponha por absurdo que [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
e [tex3]\sqrt{y}[/tex3]
são números irracionais, um não pode ser irracional enquanto outro é racional se não teríamos a soma de um irracional com um racional que nos da um irracional e 1980 é inteiro
[tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y}=1980[/tex3]
[tex3]\sqrt{x}=1980-\sqrt{y}[/tex3]
elevando tudo ao quadrado
[tex3]x=1980^2-2\cdot 1980\sqrt{y}+y[/tex3]
[tex3]x-y-1980^2=2\cdot 1980\sqrt{y}[/tex3]
enquanto o lado esquerdo é inteiro o lado direito é irracional pois um racional não nulo vezes um irracional é um irracional, oq nos leva a um absurdo
3º) caso [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
e [tex3]\sqrt{y}[/tex3]
fossem racionais, isto é [tex3]\sqrt{x}={m\over n}[/tex3]
e [tex3]\sqrt{y}=\frac{a}{b}[/tex3]
com a, b, m, n inteiros positivos e [tex3]mdc(m, n) = 1[/tex3]
e [tex3]mdc(a, b) = 1 [/tex3]
com n e b maiores que 1
mas então [tex3]x={m^2\over n^2}[/tex3]
e então [tex3]n^2|m^2[/tex3]
como [tex3]n| n^2 [/tex3]
por transitividade [tex3]n|m^2[/tex3]
e pela seguinte proposição.
Proposição: Sejam a, b e c inteiros positivos com [tex3]a | bc[/tex3]
e [tex3]mdc(a, b) = 1[/tex3]
. Então, [tex3]a | c[/tex3]
.
descobrimos que [tex3]n|m[/tex3]
e então [tex3]nk=m[/tex3]
para algum k inteiro
mas [tex3]mdc(nk, n) = 1[/tex3]
e pelo lema de euclides [tex3]mdc(kn-kn, n) = 1[/tex3]
[tex3]mdc(0, n) = 1[/tex3]
e portanto temos [tex3]n = 1[/tex3]
que contraria a hipótese, caso n fosse 1 entraríamos no primeiro caso
logo as únicas soluções são [tex3](x, y) = (t^2, (1980-t)^2)[/tex3]
com [tex3]0< t<1980[/tex3]
e t um nuúmero inteiro
Problema 11
(Brasil - 2009) Entre os inteiros positivos [tex3]n + 4018[/tex3]
, [tex3]n =1,2,...,2009^2[/tex3]
, quantos são quadrados perfeitos?
A) 1945 B) 1946 C) 1947 D) 1948 E) 1949
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 30 Set 2020, 16:44
por Ittalo25
Solução do Problema 11
[tex3]1 \leq n\leq 2009^2[/tex3]
[tex3]4019 \leq n+4018\leq 2009^2+4018[/tex3]
[tex3]64^2 \leq n+4018\leq (2009+1)^2-1 [/tex3]
[tex3]64^2 \leq n+4018\leq 2010^2-1 [/tex3]
[tex3]64^2 \leq n+4018\leq 2009^2 [/tex3]
Portanto [tex3]n+4018 \in \{64^2,65^2,....,2009^2\}[/tex3]
São [tex3]2009-64+1 = \boxed{1946} [/tex3]
números.
Problema 12
(Estados Unidos - 2007) Seja n o menor inteiro positivo que é divisível por 4 e também é divisível por 9. Além disso, n tem apenas os dígitos 4 e 9, sendo pelo menos um dígito de cada. Qual os últimos quatro dígitos de n?
a) 4444 b) 4494 c) 4944 d) 9444 e) 9944
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 30 Set 2020, 17:17
por Deleted User 25040
Problema 12
cometi um erro na resolução, agora espero que esteja tudo certo
como [tex3]4|n[/tex3]
pelo critério de divisibilidade por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos de n deve ser divisível por 4 e então eles devem ser 44 ja que 44 é o único número de dois dígitos formado só por 4's que é divisível por 4
pelo critério de divisibilidade por 9 a soma dos dígitos deve ser divisível por 9 já que n é divisível por 9
então [tex3]9|9x+4y[/tex3]
onde x e y representa a quantidade de dígitos 9 e 4 no número n respectivamente
mas então [tex3]9|9x+4y-9x=4y[/tex3]
mas pelo que já foi demonstrado (problema 10), como [tex3]mdc(9, 4) = 1[/tex3]
e [tex3]9|4y[/tex3]
então [tex3]9|y[/tex3]
.
como n é o menor possível e tem pelo menos um digito 4, y = 9 se y fosse 0 não teria nenhum digito 4 e se fosse maior, [tex3]n[/tex3]
seria maior também
então o número [tex3]n [/tex3]
tem 9 dígitos 4 e como precisa ter no mínimo um digito 9, e queremos o menor número possível. [tex3]n [/tex3]
é um número com um dígito 9 e 9 dígitos 4
como [tex3]9 > 4[/tex3]
quanto antes o digito 9 aparecer em n da direita para esquerda menor vai ser o n, mas como os dois últimos algarismos são 4 então 9 deve aparecer na terceira posição da direita para esquerda para n ser o menor possível então os últimos 4 algarismos são [tex3]4944[/tex3]
Problema 13
(Brasil - 2013) Determine o maior divisor comum de todos os números de 9 algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A) 3 B) 9 C) 18 D) 27 E) 123456789
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 30 Set 2020, 19:32
por Ittalo25
Solução do problema 13
Lema: [tex3]mdc(a,b) = d [/tex3]
, então [tex3]d [/tex3]
divide [tex3]a-b [/tex3]
Demonstração:
Em particular, o mdc desses números divide: [tex3]987654321-987654312 = 9 [/tex3]
Então o mdc desses números só pode ser 1 ou 3 ou 9.
Mas todos os números têm soma de algarismos: [tex3]1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 [/tex3]
Que é múltiplo de 9. Então pelo critério de divisilidade por 9, todos esses números são divisíveis por 9.
Sendo assim, o mdc entre todos eles é [tex3]\boxed{9} [/tex3]
Problema 14
(Índia - 1998) Prove que se 2 números da forma [tex3]a^2+3b^2 [/tex3]
são multiplicados, então o resultado também será dessa forma.
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 30 Set 2020, 20:25
por goncalves3718
Solução do problema 14
Sejam [tex3]x = a^2+3b^2[/tex3]
e [tex3]y= c^2+3d^2[/tex3]
[tex3]xy = (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = a^2c^2+3a^2d^2+3b^2c^2+9b^2d^2 = \boxed{ (ac+3bd)^2+3(ad-bc)^2} [/tex3]
C.Q.D
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 15
(Alemanha 2020)Determine todos os inteiros positivos [tex3]n[/tex3]
de tal forma que exista outro positivo inteiro [tex3]d[/tex3]
com a propriedade de que [tex3]n[/tex3]
é divisível por [tex3]d[/tex3]
e [tex3]n^2+d^2[/tex3]
é divisível por [tex3]d^2n+1[/tex3]
.
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 01 Out 2020, 02:18
por Ittalo25
Solução do problema 15
[tex3]d^2n+1 | n^2+d^2[/tex3]
[tex3]d^2n+1 | d^2\cdot (n^2+d^2) - n\cdot (d^2n+1)[/tex3]
[tex3]d^2n+1 | d^4- n[/tex3]
[tex3]d^2n+1 | d^2 \cdot (d^4- n) + (d^2n+1)[/tex3]
[tex3]d^2n+1 | d^6+1[/tex3]
Portanto: [tex3]d^6+1 \geq d^2n+1 \rightarrow \boxed{ n\leq d^4} [/tex3]
Como [tex3]d|n [/tex3]
, então existe inteiro positivo x tal que [tex3]n = dx [/tex3]
:
[tex3]d^3x+1 | d^2x^2+d^2[/tex3]
[tex3]d^3x+1 | d\cdot (d^2x^2+d^2) - x\cdot (d^3x+1)[/tex3]
[tex3]d^3x+1 | d^3-x[/tex3]
[tex3]d^3x+1 | x\cdot (d^3-x) - (d^3x+1)[/tex3]
[tex3]d^3x+1 |x^2 +1[/tex3]
Portanto: [tex3]x^2+1 \geq d^3x+1 \rightarrow \boxed{ dx = n \geq d^4} [/tex3]
Ora, mas então: [tex3]\boxed {n = d^4} [/tex3]
são as soluções.
Problema 16
(Inglaterra - 2007) Determine quatro números primos menores que 100 que são fatores de [tex3]3^{32}-2^{32}[/tex3]
.
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 01 Out 2020, 20:53
por Babi123
Solução do Problema 16
[tex3]E=3^{32}-2^{32}\\
E=(3^{16})^2-(2^{16})^2\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{16}-2^{16})\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{8}+2^{8})\cdot(3^{8}-2^{8})\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{8}+2^{8})\cdot(3^{4}+2^{4})\cdot(3^4-2^4)\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{8}+2^{8})\cdot(81+16)\cdot(81-16)\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{8}+2^{8})\cdot97\cdot65\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(3^{8}+2^{8})\cdot97\cdot5\cdot13\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot(6561+256)\cdot97\cdot5\cdot13\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot6817\cdot97\cdot5\cdot13\\
E=(3^{16}+2^{16})\cdot17\cdot401\cdot97\cdot5\cdot13[/tex3]
Assim, como [tex3]3^{16}+2^{16}\in\mathbb{Z}[/tex3]
e exibimos quatro fatores primos [tex3]5,13,17,97[/tex3]
que são menores que [tex3]100[/tex3]
, então está provado.
Problema 17
(Brasil - 2014) Sejam [tex3]p[/tex3]
e [tex3]q[/tex3]
inteiros. Sabendo que [tex3]x^2+px+q[/tex3]
é positivo para todo [tex3]x[/tex3]
inteiro,
prove que a equação [tex3]x^2+px+q=0[/tex3]
não possui solução real.
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 02 Out 2020, 10:52
por Ittalo25
Solução do problema 17
Se as raízes são iguais, então: [tex3]\Delta = p^2-4q = 0[/tex3]
, ou seja, p é par e [tex3]x=-\frac{p}{2}[/tex3]
é inteiro
[tex3]x^2+px+q > 0 [/tex3]
[tex3]4x^2+4px+4q > 0 [/tex3]
[tex3](2x+p)^2> p^2-4q [/tex3]
[tex3](2 \cdot \left(\frac{-p}{2}\right)+p)^2> \Delta [/tex3]
[tex3]0> \Delta [/tex3]
Se as raízes são diferentes, então existe uma maior que a outra: [tex3]x_1 > x_2 [/tex3]
Como a concavidade da parábola é para cima, no intervalo [tex3]x\in [x_1 , x_2] [/tex3]
a equação é não positiva.
Se existe um inteiro "a" nesse intervalo, então: [tex3]a^2+pa+q \leq 0 [/tex3]
. Absurdo já que a equação é positiva para todo número inteiro.
Então não existe número inteiro nesse intervalo, ou seja, [tex3]0 < |x_1-x_2| < 1 [/tex3]
:
[tex3]0 <|\frac{-p+\sqrt{\Delta}}{2} - \left(\frac{-p-\sqrt{\Delta}}{2}\right)| < 1[/tex3]
[tex3]0 < |\Delta| < 1[/tex3]
Absurdo, já que [tex3]\Delta = p^2-4q [/tex3]
é um número inteiro.
Problema 18
(México - 1997) Encontre todos os números [tex3]N=\overline{abc}[/tex3]
de três dígitos tais que ao somarmos 9 obtém-se o número [tex3]\overline{cab}[/tex3]
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 02 Out 2020, 13:25
por Deleted User 25200
Solução do problema 18
[tex3]\overline{abc}=100a+10b+c[/tex3]
e [tex3]\overline{cab}=100c+10a+b[/tex3]
[tex3]100a+10b+c+9=100c+10a+b[/tex3]
[tex3]9b=99c-90a-1[/tex3]
[tex3]b=11c-10a-1[/tex3]
Não podemos ter [tex3]c>a[/tex3]
, tampouco [tex3]a>c[/tex3]
. Ou seja, sempre [tex3]c=a[/tex3]
.
[tex3]c=a=1[/tex3]
, [tex3]b=0[/tex3]
. O número é [tex3]101[/tex3]
.
[tex3]c=a=2[/tex3]
, [tex3]b=1[/tex3]
. O número é [tex3]212[/tex3]
[tex3]c=a=3[/tex3]
, [tex3]b=2[/tex3]
. O número é [tex3]323[/tex3]
.
[tex3]c=a=4[/tex3]
, [tex3]b=3[/tex3]
. O número é [tex3]434[/tex3]
.
[tex3]c=a=5[/tex3]
, [tex3]b=4[/tex3]
. O número é [tex3]545[/tex3]
.
[tex3]c=a=6[/tex3]
, [tex3]b=5[/tex3]
. O número é [tex3]656[/tex3]
.
[tex3]c=a=7[/tex3]
, [tex3]b=6[/tex3]
. O número é [tex3]767[/tex3]
.
[tex3]c=a=8[/tex3]
, [tex3]b=7[/tex3]
. O número é [tex3]878[/tex3]
.
[tex3]c=a=9[/tex3]
, [tex3]b=8[/tex3]
. O número é [tex3]989[/tex3]
.
Então os número são: [tex3]101,212,323,434,545,656,767,878,989[/tex3]
.
Problema 19
(Chile 2008) Dizemos que um número é capícua se ao inverter a ordem de seus algarismos obtivermos o mesmo número. Achar todos os números que tem pelo menos um múltiplo não-nulo que seja capícua.
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: 02 Out 2020, 21:00
por Ittalo25
Solução do problema 19
Todos os números com apenas algarismos iguais a 9 são capícua (exceto o próprio 9): [tex3]99,9999,99999,99999 ,.... [/tex3]
Ou seja: [tex3]10^x - 1 [/tex3]
é capícua para x inteiro maior ou igual a 2.
Então, pela função phi de Euler, qualquer número a tal que [tex3]mdc(a,10) = 1\rightarrow 10^{\phi(a)} \equiv 1 \mod(a) [/tex3]
Então todos os números a tais que [tex3]mdc(a,10) = 1 [/tex3]
servem.
Obviamente se o número a for múltiplo de 10, então ele termina com o algarismo 0. Assim, ao alterar a ordem dos algarismos, ele ficará com um algarismo a menos, não podendo ser capícua.
Se [tex3]a = 2^x = \overline{a_0a_1a_2a_3a_{4} .....a_{x} }[/tex3]
Então dá para escolher uma potência de 10: [tex3]10^{b}[/tex3]
, tal que [tex3]b>x [/tex3]
para fazer isso:
[tex3]10^b \cdot \overline{a_x.....a_4a_3a_2a_1a_0} +\overline{a_0a_1a_2a_3a_{4} .....a_{x} } = \overline{a_x....a_4a_3a_2a_1a_00....00a_0a_1a_2a_3a_4....a_x}[/tex3]
Ou seja, o lado direito é capicua. E como a divide [tex3]\overline{a_0a_1a_2a_3a_{4} .....a_{x} } [/tex3]
, e também [tex3]a=2^x[/tex3]
divide [tex3]10^{b}[/tex3]
, já que o b foi escolhido maior que o x, então a divide o lado esquerdo, assim divide o lado direito também.
De modo análogo para [tex3]a = 5^x[/tex3]
Se [tex3]a = 2^xk[/tex3]
ou [tex3]a = 5^xk[/tex3]
para [tex3]mdc(k,10) = 1 [/tex3]
. Considere os números com todos algarismos iguais a y.
O argumento anterior mostra que o número capicua é múltiplo de [tex3]2^{x}[/tex3]
e [tex3]5^{x}[/tex3]
.
Mas para ser múltiplo de k, basta escolher uma potência de 10 de tal modo que o número capicua formado tenha quantidade de algarismos múltipla de [tex3]k\phi(k) [/tex3]
, já que:
[tex3]\underbrace{\overline{yyyyy....yyyy} }_{k\phi(k)} = y10^{(k-1)\phi({k})}+y10^{(k-2)\phi({k})}+....+y \equiv ky \equiv 0 \mod(k) [/tex3]
Sendo assim, todos os números que não são múltiplos de 10 têm pelo menos um múltiplo que seja capicua.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 20
(Malásia - 2010) Encontre o número de diferentes pares (a,b) de inteiros positivos tal que [tex3]a+b \leq 100[/tex3]
e também:
[tex3]\frac{a+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+b} = 10[/tex3]