Olimpíadas ⇒ (Cone Sul - 2003) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido
-
edu_vrb
- Mensagens: 16
- Registrado em: 07 Jan 2007, 22:03
- Última visita: 06-04-07
- Localização: Visconde do Rio Branco
- Contato:
Jan 2007
14
20:20
(Cone Sul - 2003) Geometria Plana: Área de um Triângulo
(XIV Cone Sul) No triângulo acutângulo ABC, os pontos H, G e M encontram-se sobre o lado BC, de modo que AH, AG e AM são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que HG = GM, AB = 10 e AC = 14. Determinar a área do triângulo ABC.
Matemática
-
caju
- Mensagens: 2049
- Registrado em: 19 Out 2006, 15:03
- Última visita: 10-06-24
- Localização: londrina
- Agradeceu: 832 vezes
- Agradeceram: 1510 vezes
- Contato:
Fev 2007
10
17:58
Re: (Cone Sul - 2003) Geometria Plana: Área de um Triângulo
Olá edu_vrb,
Começamos fazendo o desenho da situação:
Note que utilizei algumas nomenclaturas para os dados. A altura é "h", a bissetriz é "m", a mediana é "M", o lado BC tem comprimento "a" e os ângulos [tex3]B\hat{A}G=G\hat{A}C=\alpha[/tex3]
Começaremos calculando o comprimento "a".
Note que o lado BG mede [tex3]\frac{a}{2}-x[/tex3]
Aplicamos a lei dos senos no triângulo BAG:
(1) [tex3]\frac{\frac{a}{2}-x}{\sin\alpha}=\frac{10}{\sin(A\hat{G}B)}[/tex3]
E aplicamos a lei dos senos no triângulo AGC.
[tex3]\frac{14}{\sin(180^{\circ}-A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]
Sabendo que [tex3]\sin(\theta)=\sin(180^{\circ}-\theta)[/tex3] , podemos rescrever a equação acima como sendo:
(2) [tex3]\frac{14}{\sin(A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]
Multiplicando a equação (1) pela (2) e efetuando as simplificações, temos:
[tex3]7a-14x=5a+10x[/tex3]
(3) [tex3]a=12x[/tex3]
Aplicamos o Teorema de Stewart para descobrir o comprimento de M:
[tex3]M=\sqrt{\frac{2\cdot 10^2+2\cdot 14^2-a^2}{4}}[/tex3]
Substituindo [tex3]a=12x[/tex3] e efetuando as simplificações:
(4) [tex3]M=\sqrt{148-36x^2}[/tex3]
Sabemos que M é o ponto médio de BC, ou seja, o comprimento BM vale 6x (pois BC = 12x). Como HM=2x, temos que BH=4x. Aplicando Pitágoras no triângulo ABH:
[tex3]10^2=h^2+(4x)^2[/tex3]
(5) [tex3]h^2=100-16x^2[/tex3]
Aplicamos Pitágoras no triângulo AHM:
(6) [tex3]M^2=(2x)^2+h^2[/tex3]
Substituímos (5) em (6) e isolamos M.
(7)[tex3]M=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]
Agora podemos igualar (4) e (7).
[tex3]\sqrt{148-36x^2}=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]
Elevando ao quadrado e resolvendo, chegamos em:
[tex3]x=\sqrt 2[/tex3]
Sabendo o valor de x podemos agora descobrir o valor de "a" e "h" através das equações (3) e (5):
[tex3]a=12\sqrt 2[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{100-16\cdot(\sqrt 2)^2}[/tex3]
[tex3]h=2\sqrt{17}[/tex3]
E a área é "a" multiplicado por h e dividido por 2:
[tex3]Area=\frac{12\sqrt 2\cdot 2\sqrt{17}}{2}[/tex3]
[tex3]Area= 12\sqrt{34}[/tex3]
Começamos fazendo o desenho da situação:
Note que utilizei algumas nomenclaturas para os dados. A altura é "h", a bissetriz é "m", a mediana é "M", o lado BC tem comprimento "a" e os ângulos [tex3]B\hat{A}G=G\hat{A}C=\alpha[/tex3]
Começaremos calculando o comprimento "a".
Note que o lado BG mede [tex3]\frac{a}{2}-x[/tex3]
Aplicamos a lei dos senos no triângulo BAG:
(1) [tex3]\frac{\frac{a}{2}-x}{\sin\alpha}=\frac{10}{\sin(A\hat{G}B)}[/tex3]
E aplicamos a lei dos senos no triângulo AGC.
[tex3]\frac{14}{\sin(180^{\circ}-A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]
Sabendo que [tex3]\sin(\theta)=\sin(180^{\circ}-\theta)[/tex3] , podemos rescrever a equação acima como sendo:
(2) [tex3]\frac{14}{\sin(A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]
Multiplicando a equação (1) pela (2) e efetuando as simplificações, temos:
[tex3]7a-14x=5a+10x[/tex3]
(3) [tex3]a=12x[/tex3]
Aplicamos o Teorema de Stewart para descobrir o comprimento de M:
[tex3]M=\sqrt{\frac{2\cdot 10^2+2\cdot 14^2-a^2}{4}}[/tex3]
Substituindo [tex3]a=12x[/tex3] e efetuando as simplificações:
(4) [tex3]M=\sqrt{148-36x^2}[/tex3]
Sabemos que M é o ponto médio de BC, ou seja, o comprimento BM vale 6x (pois BC = 12x). Como HM=2x, temos que BH=4x. Aplicando Pitágoras no triângulo ABH:
[tex3]10^2=h^2+(4x)^2[/tex3]
(5) [tex3]h^2=100-16x^2[/tex3]
Aplicamos Pitágoras no triângulo AHM:
(6) [tex3]M^2=(2x)^2+h^2[/tex3]
Substituímos (5) em (6) e isolamos M.
(7)[tex3]M=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]
Agora podemos igualar (4) e (7).
[tex3]\sqrt{148-36x^2}=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]
Elevando ao quadrado e resolvendo, chegamos em:
[tex3]x=\sqrt 2[/tex3]
Sabendo o valor de x podemos agora descobrir o valor de "a" e "h" através das equações (3) e (5):
[tex3]a=12\sqrt 2[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{100-16\cdot(\sqrt 2)^2}[/tex3]
[tex3]h=2\sqrt{17}[/tex3]
E a área é "a" multiplicado por h e dividido por 2:
[tex3]Area=\frac{12\sqrt 2\cdot 2\sqrt{17}}{2}[/tex3]
[tex3]Area= 12\sqrt{34}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 10 Fev 2007, 17:58, em um total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
-
Nova mensagem (3ª Lista Treinamento Cone Sul-2003) Polinômio
por Auto Excluído (ID:19677) » » em Olimpíadas - 2 Resp.
- 1509 Exibições
-
Últ. msg por Babi123
-
-
- 1 Resp.
- 263 Exibições
-
Últ. msg por petras
-
- 3 Resp.
- 1373 Exibições
-
Últ. msg por Ittalo25
-
-
Nova mensagem (Cone Sul 2002) Geometria Plana - Quadriláteros
por Deleted User 24758 » » em Olimpíadas - 1 Resp.
- 1263 Exibições
-
Últ. msg por Deleted User 24633
-
