Outra questão muito bacana.
Quantas espécies distintas de polígonos regulares de 100 lados existem?
IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares Tópico resolvido
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Eduardo
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Mai 2007
02
08:42
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
tem algo muito errado com esse enunciado.. não sei como pode existir mais de um poligono regular de 100 lados... o enunciado está correto?
Editado pela última vez por Eduardo em 02 Mai 2007, 08:42, em um total de 1 vez.
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caju
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02
09:11
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Olá a todos,
É... meio diferente esta questão mesmo! Vou dar uma dica aqui.
Vou mostrar três tipos distintos de hexágonos:
O que difere um do outro é a quantidade de reentrâncias (ou concavidades) que cada uma apresenta.
Será que agora saí?
É... meio diferente esta questão mesmo! Vou dar uma dica aqui.
Vou mostrar três tipos distintos de hexágonos:
- 2_poligonos_1.jpg (10.6 KiB) Exibido 6784 vezes
Será que agora saí?
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Eduardo
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Mai 2007
02
09:16
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
assim eu consigo fazer, mas isso não é um polígono regular......
Editado pela última vez por Eduardo em 02 Mai 2007, 09:16, em um total de 1 vez.
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caju
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02
09:30
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Ih! É mesmo... nem reparei a palavra regular!!! Acho que o que a pessoa que criou a questão queria era sem a palavra regular.
Com a palavra regular a resposta é 1 mesmo.
Tente fazer suprimindo o termo regular.
Com a palavra regular a resposta é 1 mesmo.
Tente fazer suprimindo o termo regular.
Editado pela última vez por caju em 02 Mai 2007, 09:30, em um total de 1 vez.
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marco_sx
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Mai 2007
02
17:01
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Além do polígono regular convexo existem também os estrelados. Será que é isso que a questão está pedindo?
Editado pela última vez por marco_sx em 02 Mai 2007, 17:01, em um total de 1 vez.
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Eduardo
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Mai 2007
02
19:36
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
na minha opinião tem algo faltando no enunciado ainda.... algo que estava no lugar de regular
Editado pela última vez por Eduardo em 02 Mai 2007, 19:36, em um total de 1 vez.
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caju
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02
21:08
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Olá a todos,
Analisando um pouco meus alfarrábios, vi que a definição de polígono regular realmente só leva em consideração os lados iguais e os ângulos internos iguais, não leva em consideração se há ou não alguma concavidade.
Sendo assim, como já disse nosso amigo marco_sx, devemos levar em consideração os polígonos estrelados.
Para resolver vamos iniciar pensando em um polígono de 6 lados. Ou seja, a mesma questão referenciando um hexágono.
Pegue um lápis e um papel e desenhe uma circunferência com 8 pontos sobre ela e eqüidistantes um do outro.
Partindo do ponto [tex3]A[/tex3]
se percorrermos com o lápis, fazendo linhas retas, e visitando cada ponto vizinho, formamos o octógono [tex3]ABCDEFGH[/tex3]
regular comumente conhecido.
Agora, se partirmos do ponto [tex3]A[/tex3] , e vamos sempre pulando para o terceiro no sentido horário, obtemos o polígono regular [tex3]ADGBEHCF[/tex3] .
Partindo de [tex3]A[/tex3]
e pulando para o quarto no sentido horário, não obteremos um polígono de [tex3]8[/tex3]
lados (tente no papel).
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o quinto, obteremos o mesmo polígono acima.
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sexto, não obteremos um polígono de [tex3]8[/tex3] lados.
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sétimo, obteremos o mesmo polígono [tex3]ABCDEFGH[/tex3] .
Ou seja, só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] ). Ainda assim obtemos polígonos repetidos duas vezes. Portanto, a quantidade de polígonos regulares de [tex3]n[/tex3] lados é igual à metade da quantidade de números positivos primos com [tex3]n[/tex3] .
Para calcular a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] utilizamos a função Totiente de Euler [tex3]\phi(n)[/tex3] .
O valor [tex3]\phi(n)[/tex3] nos dá a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] que são menores que [tex3]n[/tex3] .
Essa função tem as seguintes propriedades:
1) [tex3]\phi(p) = p-1[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;
2) [tex3]\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;
3) [tex3]\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot\phi(b)[/tex3] , [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] primos entre sí e [tex3]\ge 1[/tex3] .
Então vamos calcular o valor de [tex3]\phi(100)[/tex3] .
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)[/tex3]
Como [tex3]4[/tex3] e [tex3]25[/tex3] são primos entre sí, podemos aplicar a regra 3:
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)[/tex3]
Agora podemos aplicar a regra 2.
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)=2^{2-1}\cdot{(2-1)}\cdot 5^{2-1}\cdot (5-1)=40[/tex3]
Assim, temos que a quantidade de polígonos regulares com [tex3]100[/tex3] lados é [tex3]\frac{40}{2}=20[/tex3]
Analisando um pouco meus alfarrábios, vi que a definição de polígono regular realmente só leva em consideração os lados iguais e os ângulos internos iguais, não leva em consideração se há ou não alguma concavidade.
Sendo assim, como já disse nosso amigo marco_sx, devemos levar em consideração os polígonos estrelados.
Para resolver vamos iniciar pensando em um polígono de 6 lados. Ou seja, a mesma questão referenciando um hexágono.
Pegue um lápis e um papel e desenhe uma circunferência com 8 pontos sobre ela e eqüidistantes um do outro.
- Screen Shot 2011-12-01 at 20.34.47.png (14.5 KiB) Exibido 6804 vezes
Agora, se partirmos do ponto [tex3]A[/tex3] , e vamos sempre pulando para o terceiro no sentido horário, obtemos o polígono regular [tex3]ADGBEHCF[/tex3] .
- Screen Shot 2011-12-01 at 20.36.50.png (30.67 KiB) Exibido 6804 vezes
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o quinto, obteremos o mesmo polígono acima.
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sexto, não obteremos um polígono de [tex3]8[/tex3] lados.
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sétimo, obteremos o mesmo polígono [tex3]ABCDEFGH[/tex3] .
Ou seja, só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] ). Ainda assim obtemos polígonos repetidos duas vezes. Portanto, a quantidade de polígonos regulares de [tex3]n[/tex3] lados é igual à metade da quantidade de números positivos primos com [tex3]n[/tex3] .
Para calcular a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] utilizamos a função Totiente de Euler [tex3]\phi(n)[/tex3] .
O valor [tex3]\phi(n)[/tex3] nos dá a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] que são menores que [tex3]n[/tex3] .
Essa função tem as seguintes propriedades:
1) [tex3]\phi(p) = p-1[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;
2) [tex3]\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;
3) [tex3]\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot\phi(b)[/tex3] , [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] primos entre sí e [tex3]\ge 1[/tex3] .
Então vamos calcular o valor de [tex3]\phi(100)[/tex3] .
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)[/tex3]
Como [tex3]4[/tex3] e [tex3]25[/tex3] são primos entre sí, podemos aplicar a regra 3:
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)[/tex3]
Agora podemos aplicar a regra 2.
[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)=2^{2-1}\cdot{(2-1)}\cdot 5^{2-1}\cdot (5-1)=40[/tex3]
Assim, temos que a quantidade de polígonos regulares com [tex3]100[/tex3] lados é [tex3]\frac{40}{2}=20[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 02 Mai 2007, 21:08, em um total de 4 vezes.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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mvgcsdf
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Mai 2007
03
13:03
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Grande Prof. Caju: valeu mais uma vez pela força!!
A resposta é 20 sim.
Valeu!!
A resposta é 20 sim.
Valeu!!
Editado pela última vez por mvgcsdf em 03 Mai 2007, 13:03, em um total de 1 vez.
Dez 2011
01
20:26
Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares
Ressuscitando esse tópico! (questão muito interessante)
Gostaria que alguém me desse uma explicação mais "algébrica", tentei elaborar ,mas não consegui.
Gostaria que alguém me desse uma explicação mais "algébrica", tentei elaborar ,mas não consegui.
OBS: Não precisa ser para um polígono de n lados, se fizer para o de 8 fico satisfeito = ] !caju escreveu:só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] ).
Editado pela última vez por Agash em 01 Dez 2011, 20:26, em um total de 1 vez.
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