Concursos Públicos ⇒ mdc

[rean]

( Fuvest-SP) o produto de dois numeros naturais A e B é 600.

a) quais são os possiveis divisores primos de A?
b)Quais são os possiveis valores do MDC de A e B?

[Alexandre_SC]

Os possiveis divisores de A sao os divisores de 600

[tex3]600 = 2^3\cdot3\cdot5^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]600 = 2^3\cdot3\cdot5^2[/tex3]

a resposta da letra a fica como {1, 2, 3, 5}

o numero de divisores de 600
4*2*3 = 24

vai dar trabalho fazer na unha, vou pensar sobre o assunto.

nao sei se vou conseguir me expressar corretamente.

decompondo-se o 600
tem 2*2*2*2*2 ...
levando-se em consideraçao apenas esse fator:
se A possuir [tex3]2^1[/tex3]

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[tex3]2^1[/tex3]

B deve possuir [tex3]2^2[/tex3]

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[tex3]2^2[/tex3]

mdc e multiplo de 2
se A possuir [tex3]2^2[/tex3]

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[tex3]2^2[/tex3]

B deve possuir [tex3]2^1[/tex3]

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[tex3]2^1[/tex3]

mde multiplo de 2
ou 1 e [tex3]2^3[/tex3]

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[tex3]2^3[/tex3]

que da um

o mesmo vale para o trez que, nunca podera aparecer em A e B, ou seja mdc(A,B) nao e multiplo de 3
para cinco pode-se ter mdc(1,25) = 1 ou mdc(5, 5) = 5

1*1*1 = 1
1*1*5 = 5
2*1*1 = 2
2*1*5 = 10

[fabit]

A resposta da (a) não inclui o 1. Ele não é primo.
A da (b) é trabalhada parecida com o que o colega já escreveu, eu só escreveria de modo um pouco diferente.

Lembrando que A e B são números da forma (2^x).(3^y).(5^z), o que ocorre é que 600 = AB implica

(2^3).(3^1).(5^2) = (2^(x+X)).(3^(y+Y)).(5^(z+Z)), onde os minúsculos são os expoentes da fatoração de A e os maiúsculos são da fatoração de B (desculpem eu não estar usando editores de texto para as equações).

Muito bem, na hora de fazer mdc, seleciona-se o expoente menor, seja ele oriundo do A ou do B. Temos que x+X = 3, y+Y = 1 e z+Z = 2. Logo o mdc terá o expoente no máximo igual à metade (arredondando pra baixo no caso ímpar) dos expoentes que vieram do 600. Por exemplo, se z = Z = 1, o mdc pega o expoente 1 em cima do fator 5, mas se distribuir de qualquer outro jeito, o mdc fica com 5^0, ou seja, sem fator 5.

Então as possibilidades para o expoente de cada fator do mdc são:
- fator 2: 0 ou 1 (2 modos)
- fator 3: 0 (1 modo)
- fator 5: 0 ou 1 (2 modos)

2.1.2 = 4 possibilidades.

O enunciado quer saber QUAIS SÃO, então
(2^0).(3^0).(5^0)=1
(2^0).(3^0).(5^1)=5
(2^1).(3^0).(5^0)=2
(2^1).(3^0).(5^1)=10

[Alexandre_SC]

Bom, Eu Tambem Não Uso Editores De Texto Para As Equações;

Nesse Site Elas Podem Ser Escritas Em TeX

LEIA [img]http://tutorbrasil.com.br/forum/templat ... elp_eq.gif[/img]

[fabit]

Muito obrigado pela dica!

Só agora olhei as coisas que circundam o box de digitação. O TeX (na verdade LaTeX) está bem ali.

[Jhonatan]

Galera, alguém saberia um jeito alternativo e mais simples de se resolver a letra b) ?

R: 1, 2, 5 e 10