Ensino Superior

considere a função f : [−4, 0] → R e a reta
tangente em x = −1 representadas na figura abaixo:

1. O número de soluções de f(x) = 3/2 é?

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Não compreendi como que encontro o número de soluções, quem puder me ajudar ficarei grata!

Mensagem não lida por **Matheusrpb** » 01 Dez 2019, 23:39

Giii, boa noite !

• A função é do tipo:

[tex3]f(x) = ax^3+bx^2+cx+d [/tex3]

• Temos 4 pontos que pertencem à função:

[tex3]A=(0;5)[/tex3]
[tex3]B=(-3;2)[/tex3]
[tex3]C=(-4;1) [/tex3]
[tex3]D = (-1;1) [/tex3]

• Fazendo um sistema, podemos descobrir a função:

[tex3]\begin{cases}
5=d \\
2=-27a +9b-3c+d \\
1=-64a+16b-4c+d \\
1=-a+b-c+d
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
-3=-27a+9b-3c \\
-4=-64a+16b -4c \\
-4=-a+b-c
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
1=9a -3b +c \\
1=16a-4b+c \\
4=a-b+c \space → \space c = 4-a+b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
1=9a-3b +4-a+b \\
1=16a-4b +4-a+b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
3=2b-8a \\
3=3b-15a
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
9=6b -24a \\
-6=-6b+30a
\end{cases}[/tex3]

[tex3]30a-24a = 9-6 [/tex3]

[tex3]\boxed{a = \frac 12}[/tex3]

[tex3]\boxed{b= \frac 72}[/tex3]

[tex3]\boxed{c= 7} [/tex3]

• Logo:

[tex3]f(x) = \frac{x^3}2 +\frac{7x^2}2 + 7x + 5 [/tex3]

• [tex3]f(x) = \frac 32[/tex3]

[tex3]\frac 32 = \frac{x^3} 2 + \frac{7x^2}2 + 7x + 5[/tex3]

[tex3]3 = x^3 + 7x^2 + 14x +10[/tex3]

[tex3]x^3 +7x^2 +14x +7 = 0 [/tex3]

[tex3]p(x) = x^3 +7x^2 +14x +7 [/tex3]

• O polinômio acima não possui raízes inteiras, entretanto só precisamos saber quantas raízes reais ele possui. Dessa forma, o Teorema de Bolzano poderá ser útil:

• [tex3]x= 0[/tex3]

[tex3]p(0) = 7 [/tex3]

• [tex3]x = -1 [/tex3]

[tex3]p(-1) = -1 [/tex3]

• [tex3]x = -3 [/tex3]

[tex3]p(-3) = 1[/tex3]

• [tex3]x=-4 [/tex3]

[tex3]p(-4) = -1 [/tex3]

• Portanto, temos raízes entre: 0 e -1, -1 e -3, -3 e -4. Ou seja, o número de soluções para [tex3]f(x) =\frac 32[/tex3] é 3.

Mensagem não lida por **caju** » 02 Dez 2019, 07:54

Olá Giii,

Podemos resolver essa questão graficamente, também. O que o enunciado está pedindo é, basicamente, quantos valores de [tex3]x[/tex3] satisfazem a equação [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] .

Assim, podemos traçar uma reta horizontal em [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] (que é a mesma coisa que [tex3]y=1,5[/tex3] ), e ver em quantos pontos do gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] essa reta corta:

: gráfico.JPG (35.18 KiB) Exibido 692 vezes

Veja que a reta [tex3]y=1,5[/tex3] corta o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] em três pontos distintos. Assim, podemos concluir que [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] tem três soluções distintas.

Grande abraço,
Prof. Caju

Matheusrpb, Ah sim, matemática básica kkkkkk Gostei bastante da sua explicação. Poderia me dizer como montou este sistema??

caju, Simples de fazer, se for pelo gráfico né?? Mas por que traçar uma reta horizontal?? Poderia me explicar também??

Mensagem não lida por **caju** » 02 Dez 2019, 14:32

Quando o enunciado pede [tex3]f(x)=1,5[/tex3] , está pedindo todos os pontos do gráfico que possuem coordenada [tex3]y[/tex3] igual a [tex3]1,5[/tex3] .

A reta que eu tracei, é a reta que contém todos os pontos do plano cartesiano cuja coordenada [tex3]y[/tex3] vale [tex3]1,5[/tex3] . Assim, cada ponto que pertença à reta e à [tex3]f(x)[/tex3] ao mesmo tempo estará mostrando uma solução de [tex3]f(x)=1,5[/tex3] .

Grande abraço,
Prof. Caju

caju, ah, sim!!! Agora eu entendi. Muito obrigada por me ajudar!!!!

Mensagem não lida por **caju** » 02 Dez 2019, 17:56

De nada, Giii.

Não se esqueça de marcar a solução como aceita, isso nos ajuda a manter o fórum organizado para todos

Grande abraço,
Prof. Caju

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