Ensino Médio ⇒ Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética Tópico resolvido

[vanderson]

Escreva a P.A de 4 termos sabendo que sua soma e produto valem, respectivamente. -2 e 40

Resposta

---

R)(-5;-2;1;4) OU (4;1;-2;-5)

[Killin]

Faz que a razão é 2k e vê se tu consegue.

[jvmago]

Essa é tranquila, jogue na notação especial [tex3](a-\frac{3r}{2},a-r,a+r,a+\frac{3r}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-\frac{3r}{2},a-r,a+r,a+\frac{3r}{2})[/tex3]

como a soma é -2 então [tex3]a=\frac{-1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{-1}{2}[/tex3]

agora é so fazer

[tex3](\frac{-1}{2}-\frac{3r}{2})(\frac{-1}{2}-r)(\frac{-1}{2}+r)(\frac{-1}{2}+\frac{3r}{2})=40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{-1}{2}-\frac{3r}{2})(\frac{-1}{2}-r)(\frac{-1}{2}+r)(\frac{-1}{2}+\frac{3r}{2})=40[/tex3]

[tex3](\frac{1}{2}+\frac{3r}{2})(\frac{-1}{2}-r)(\frac{-1}{2}+r)(\frac{1}{2}-\frac{3r}{2})=40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{1}{2}+\frac{3r}{2})(\frac{-1}{2}-r)(\frac{-1}{2}+r)(\frac{1}{2}-\frac{3r}{2})=40[/tex3]

[jvmago]

Errei alguma coisa!! está dando un resultado feião

[Killin]

[tex3]PA \ (x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PA \ (x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

-> Soma dos termos é [tex3]4x=-2 \rightarrow x=\frac{-1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x=-2 \rightarrow x=\frac{-1}{2}[/tex3]

ok.


[tex3](x-3k)(x+3k)(x-k)(x+k)=40 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-3k)(x+3k)(x-k)(x+k)=40 [/tex3]

[tex3](\frac{-1}{2}-3k)(\frac{-1}{2}+3k)(\frac{-1}{2}-k)(\frac{-1}{2}+k)=40 \\ (-1)(\frac{1}{2}+3k)(-1)(\frac{1}{2}-3k)(-1)(\frac{1}{2}+k)(-1)(\frac{1}{2}-k)=40 \\ (\frac{1}{4}-9k^2)(\frac{1}{4}-k^2)=40 \\(1-36k^2)(1-4k^2)=640 \rightarrow 1-4k^2-36k^2+144k^4=640 \\ 144k^4-40k^2-639=0 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=608 \\ k^2=\frac{40+608}{288} \Rightarrow k= \pm1,5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{-1}{2}-3k)(\frac{-1}{2}+3k)(\frac{-1}{2}-k)(\frac{-1}{2}+k)=40 \\ (-1)(\frac{1}{2}+3k)(-1)(\frac{1}{2}-3k)(-1)(\frac{1}{2}+k)(-1)(\frac{1}{2}-k)=40 \\ (\frac{1}{4}-9k^2)(\frac{1}{4}-k^2)=40 \\(1-36k^2)(1-4k^2)=640 \rightarrow 1-4k^2-36k^2+144k^4=640 \\ 144k^4-40k^2-639=0 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=608 \\ k^2=\frac{40+608}{288} \Rightarrow k= \pm1,5[/tex3]

Finalmente, [tex3]PA(\frac{-1}{2}-\frac{9}{2},\frac{-1}{2}-\frac{3}{2},\frac{-1}{2}+\frac{3}{2},\frac{-1}{2}+\frac{9}{2}) \rightarrow PA(-5,-2,1,4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PA(\frac{-1}{2}-\frac{9}{2},\frac{-1}{2}-\frac{3}{2},\frac{-1}{2}+\frac{3}{2},\frac{-1}{2}+\frac{9}{2}) \rightarrow PA(-5,-2,1,4)[/tex3]

Analogamente para [tex3]k=-\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=-\frac{3}{2}[/tex3]

chegamos na outra possibilidade da PA.

[caju]

Olá jvmago,

Veja que, nessa notação especial que você utilizou [tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-r,\,a+r,\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-r,\,a+r,\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

a razão não está constante! Vamos conferir:

[tex3]a_2-a_1=(a-r)-\(a-\frac{3r}{2}\)=\frac{r}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_2-a_1=(a-r)-\(a-\frac{3r}{2}\)=\frac{r}{2}[/tex3]

[tex3]a_3-a_2=(a+r)-\(a-r\)=2r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_3-a_2=(a+r)-\(a-r\)=2r[/tex3]

[tex3]a_4-a_3=\(a+\frac{3r}{2}\)-(a+r)=\frac{r}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_4-a_3=\(a+\frac{3r}{2}\)-(a+r)=\frac{r}{2}[/tex3]

O correto seria utilizar [tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-\frac{r}{2},\,a+\frac{r}{2},\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-\frac{r}{2},\,a+\frac{r}{2},\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

. Agora a razão está constante e igual a [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

.

Mas, acho que a notação que o Killin utilizou [tex3](x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

faz os cálculos mais fáceis

Grande abraço,
Prof. Caju

[jvmago]

Olá jvmago,

Veja que, nessa notação especial que você utilizou [tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-r,\,a+r,\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-r,\,a+r,\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

a razão não está constante! Vamos conferir:

[tex3]a_2-a_1=(a-r)-\(a-\frac{3r}{2}\)=\frac{r}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_2-a_1=(a-r)-\(a-\frac{3r}{2}\)=\frac{r}{2}[/tex3]

[tex3]a_3-a_2=(a+r)-\(a-r\)=2r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_3-a_2=(a+r)-\(a-r\)=2r[/tex3]

[tex3]a_4-a_3=\(a+\frac{3r}{2}\)-(a+r)=\frac{r}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_4-a_3=\(a+\frac{3r}{2}\)-(a+r)=\frac{r}{2}[/tex3]

O correto seria utilizar [tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-\frac{r}{2},\,a+\frac{r}{2},\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(a-\frac{3r}{2},\,a-\frac{r}{2},\,a+\frac{r}{2},\,a+\frac{3r}{2}\)[/tex3]

. Agora a razão está constante e igual a [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

.

Mas, acho que a notação que o Killin utilizou [tex3](x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-3k, x-k,x+k,x+3k)[/tex3]

faz os cálculos mais fáceis

Grande abraço,
Prof. Caju

Caramba mestre foi exatamente isso!!! muito obrigado!