Boa noite pessoal tudo bem? Estava aqui estudando para um concurso e resolvendo algumas questões de matemática e tive dúvidas sobre dois itens da banca Cespe, diz respeito à funções polinomiais:
Considere [tex3]p(x)=(2x^3 + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x^1 +...+ a_nx^n[/tex3]
, em que [tex3]x[/tex3]
é um número real, [tex3]n[/tex3]
é o grau do polinômio [tex3]p(x)[/tex3]
e [tex3]a_0[/tex3]
, [tex3]a_1[/tex3]
, ... , [tex3]a_n[/tex3]
são os coeficientes do polinômio. Com relação a esse polinômio, julgue os próximos itens:
85. [tex3]a_0 + a_1 + ... + a_n = 5^{10}[/tex3]
86. Os coeficientes [tex3]a_0[/tex3]
, [tex3]a_1[/tex3]
, [tex3]a_{19}[/tex3]
são todos nulos.
Desde já agradeço.
Concursos Públicos ⇒ (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
- carlossousa
- Mensagens: 8
- Registrado em: 18 Ago 2012, 21:19
- Última visita: 29-01-17
Jan 2017
25
22:30
(CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
Editado pela última vez por carlossousa em 25 Jan 2017, 22:30, em um total de 4 vezes.
-
- Última visita: 31-12-69
Jan 2017
26
09:49
Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
Olá, carlossouza!
Segue a resolução:
Manipularemos um pouco o polinômio dado:
[tex3]p(x) = (2x^3+3x^2)^{10} = [x^2(2x+3)]^{10} = x^{20}(2x+3)^{10}[/tex3]
Vamos para os itens:
85. [tex3]a_0 + a_1 + ... + a_n = 5^{10}[/tex3] (Falso)
Aplicaremos para [tex3](2x+3)^{10}[/tex3] , a expansão do um número binomial (ou Binômio de Newton). A fórmula dela está logo abaixo:
Para um polinômio do tipo [tex3](ax+b)^n[/tex3] vale que:
[tex3](ax+b)^n = \sum_{p =0}^n \begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix} (ax)^{n-p}b^{\ p}[/tex3] , onde [tex3]n\geq p[/tex3] e [tex3]n,p \in \mathbb{N}[/tex3] .
Vale lembrar também que após realizar a expansão não devemos esquecer de multiplicar o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] .
[tex3](2x+3)^{10} = \begin{pmatrix}
10 \\
0 \\
\end{pmatrix} (2x)^{10}3^{0} + \begin{pmatrix}
10 \\
1 \\
\end{pmatrix} (2x)^{9}3^{\ 1} + \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
\end{pmatrix} (2x)^{8}3^{\ 2} + \begin{pmatrix}
10 \\
3 \\
\end{pmatrix} (2x)^{7}3^{\ 3} + \begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix} (2x)^{6}3^{\ 4} + \begin{pmatrix}
10 \\
5 \\
\end{pmatrix} (2x)^{5}3^{\ 5} + \begin{pmatrix}
10 \\
6 \\
\end{pmatrix} (2x)^{4}3^{\ 6} + \begin{pmatrix}
10 \\
7 \\
\end{pmatrix} (2x)^{3}3^{\ 7} + \begin{pmatrix}
10 \\
8 \\
\end{pmatrix} (2x)^{2}3^{\ 8} + \begin{pmatrix}
10 \\
9 \\
\end{pmatrix} (2x)^{1}3^{\ 9} + \begin{pmatrix}
10 \\
10 \\
\end{pmatrix} (2x)^{0}3^{\ 10} = 1024x^{10} +15360x^{9} + 103680x^{8} + 414720x^{7} + 1088640x^{6} + 1959552x^{5} + 2449440x^{4} + 2099520x^{3} + 1180980x^{2} + 393660x + 59049[/tex3]
Multiplicando o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] :
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]
Como a soma seria muito trabalhosa, você deve pegar aqui a casa das unidades de cada coeficiente e verificar se a soma é divisível por 5. No caso, não é. A soma deu 17.
86. Os coeficientes [tex3]a_{0}[/tex3] ,[tex3]a_{1}[/tex3] , [tex3]a_{19}[/tex3] são todos nulos. (Verdadeiro)
Basta lembrar e pensar no que o enunciado informa e olhar o seu resultado anterior:
[tex3]p(x)=(2x^3 + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x^1 +...+ a_nx^n[/tex3]
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]
Bons estudos!
Segue a resolução:
Manipularemos um pouco o polinômio dado:
[tex3]p(x) = (2x^3+3x^2)^{10} = [x^2(2x+3)]^{10} = x^{20}(2x+3)^{10}[/tex3]
Vamos para os itens:
85. [tex3]a_0 + a_1 + ... + a_n = 5^{10}[/tex3] (Falso)
Aplicaremos para [tex3](2x+3)^{10}[/tex3] , a expansão do um número binomial (ou Binômio de Newton). A fórmula dela está logo abaixo:
Para um polinômio do tipo [tex3](ax+b)^n[/tex3] vale que:
[tex3](ax+b)^n = \sum_{p =0}^n \begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix} (ax)^{n-p}b^{\ p}[/tex3] , onde [tex3]n\geq p[/tex3] e [tex3]n,p \in \mathbb{N}[/tex3] .
Vale lembrar também que após realizar a expansão não devemos esquecer de multiplicar o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] .
[tex3](2x+3)^{10} = \begin{pmatrix}
10 \\
0 \\
\end{pmatrix} (2x)^{10}3^{0} + \begin{pmatrix}
10 \\
1 \\
\end{pmatrix} (2x)^{9}3^{\ 1} + \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
\end{pmatrix} (2x)^{8}3^{\ 2} + \begin{pmatrix}
10 \\
3 \\
\end{pmatrix} (2x)^{7}3^{\ 3} + \begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix} (2x)^{6}3^{\ 4} + \begin{pmatrix}
10 \\
5 \\
\end{pmatrix} (2x)^{5}3^{\ 5} + \begin{pmatrix}
10 \\
6 \\
\end{pmatrix} (2x)^{4}3^{\ 6} + \begin{pmatrix}
10 \\
7 \\
\end{pmatrix} (2x)^{3}3^{\ 7} + \begin{pmatrix}
10 \\
8 \\
\end{pmatrix} (2x)^{2}3^{\ 8} + \begin{pmatrix}
10 \\
9 \\
\end{pmatrix} (2x)^{1}3^{\ 9} + \begin{pmatrix}
10 \\
10 \\
\end{pmatrix} (2x)^{0}3^{\ 10} = 1024x^{10} +15360x^{9} + 103680x^{8} + 414720x^{7} + 1088640x^{6} + 1959552x^{5} + 2449440x^{4} + 2099520x^{3} + 1180980x^{2} + 393660x + 59049[/tex3]
Multiplicando o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] :
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]
Como a soma seria muito trabalhosa, você deve pegar aqui a casa das unidades de cada coeficiente e verificar se a soma é divisível por 5. No caso, não é. A soma deu 17.
86. Os coeficientes [tex3]a_{0}[/tex3] ,[tex3]a_{1}[/tex3] , [tex3]a_{19}[/tex3] são todos nulos. (Verdadeiro)
Basta lembrar e pensar no que o enunciado informa e olhar o seu resultado anterior:
[tex3]p(x)=(2x^3 + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x^1 +...+ a_nx^n[/tex3]
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]
Bons estudos!
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em 26 Jan 2017, 09:49, em um total de 4 vezes.
- caju
- Mensagens: 2052
- Registrado em: 19 Out 2006, 15:03
- Última visita: 16-06-24
- Localização: londrina
- Agradeceu: 842 vezes
- Agradeceram: 1513 vezes
- Contato:
Jan 2017
26
10:36
Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
Olá carlossouza e Bernoulli,
No item 85, a resolução me pareceu com algum problema. Digo isso, pois a soma dos coeficientes de qualquer polinômio é calculada fazendo a substituição de [tex3]x[/tex3] por [tex3]1[/tex3] .
Ou seja, na questão 85, a resposta é [tex3]p(1)=(2\cdot 1^3 + 3\cdot 1^2)^{10} =5^{10}[/tex3] .
O que torna a afirmativa verdadeira.
Grande abraço,
Prof. Caju
No item 85, a resolução me pareceu com algum problema. Digo isso, pois a soma dos coeficientes de qualquer polinômio é calculada fazendo a substituição de [tex3]x[/tex3] por [tex3]1[/tex3] .
Ou seja, na questão 85, a resposta é [tex3]p(1)=(2\cdot 1^3 + 3\cdot 1^2)^{10} =5^{10}[/tex3] .
O que torna a afirmativa verdadeira.
Grande abraço,
Prof. Caju
Editado pela última vez por caju em 26 Jan 2017, 10:36, em um total de 2 vezes.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
-
- Última visita: 31-12-69
Jan 2017
26
10:55
Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
Oi,
Sim, sim. Eu fiz burrada na soma. O item 85 está correto. No caso, o meu método seria trabalhoso demais também para verificar...
Obrigado!
Sim, sim. Eu fiz burrada na soma. O item 85 está correto. No caso, o meu método seria trabalhoso demais também para verificar...
Obrigado!
- carlossousa
- Mensagens: 8
- Registrado em: 18 Ago 2012, 21:19
- Última visita: 29-01-17
Jan 2017
26
11:42
Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial
Muito obrigado Bernoulli e Prof. Caju, agora clareou bastante meus pensamentos, abraços.
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 2 Resp.
- 1192 Exibições
-
Últ. msg por Wladi
-
- 4 Resp.
- 2096 Exibições
-
Últ. msg por rramenzoni
-
- 10 Resp.
- 2794 Exibições
-
Últ. msg por rramenzoni
-
- 2 Resp.
- 1394 Exibições
-
Últ. msg por Wladi
-
- 0 Resp.
- 856 Exibições
-
Últ. msg por Berredo