Olá
Tacia,
Pelo que entendi, a seção transversal é a seguinte:
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Desse modo, a pressão varia linearmente com a profundidade:
O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas quando está em repouso, devido a ausência de tensões de cisalhamento, e a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido for incompressível.
Portanto, no fundo da matriz, ou seja, [tex3]h = A[/tex3]
, a pressão manométrica será dada por:
[tex3]p_{\text{man}} = \gamma \cdot A[/tex3]
A pressão absoluta leva em consideração a pressão atmosférica, ou seja:
[tex3]p_{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{man}} \iff p_{\text{abs}} = p_0 + \gamma \cdot A[/tex3]
Por outro lado, a força que atua em uma área, é dada por:
[tex3]dF = \gamma \cdot h \cdot dA [/tex3]
O módulo da força resultante na superfície é determinado somando-se todas as forças diferenciais que atuam na superfície. Portanto:
[tex3]F_R = \int _A \gamma \cdot h \cdot dA = \int _A \gamma \cdot y \cdot \sen \theta \cdot dA[/tex3]
Se [tex3]\gamma [/tex3]
e [tex3]\theta[/tex3]
são constantes, obtemos:
[tex3]F_R = \gamma \cdot \sen \theta \underbrace{\int _A y\cdot dA}_{y_c \cdot A}[/tex3]
Logo:
[tex3]F_R = \gamma \cdot A \cdot y_c \cdot \sen \theta \Rightarrow \boxed{ F_R =\gamma \cdot h_c \cdot A }[/tex3]
Onde, [tex3]h_c[/tex3]
é a altura entre a superfície livre e o centro da área.
A coordenada do centro de pressão, [tex3]y_R[/tex3]
, pode ser determinada pela soma dos momentos em [tex3]x[/tex3]
. Desse modo:
[tex3]F_R \cdot y_R = \int _A y \cdot dF = \int _A \gamma \cdot \sen \theta \cdot y^2 \cdot dA[/tex3]
Como:
[tex3]F_R = \gamma \cdot A \cdot y_c \cdot \sen \theta[/tex3]
Então:
[tex3]y_R = \frac{\int _A y^2 \cdot dA}{y_c \cdot A}[/tex3]
A coordenada do centro de pressão, [tex3]x_R[/tex3]
, pode ser determinada de forma análoga, analisando os momentos em [tex3]y[/tex3]
:
[tex3]F_R \cdot x_R = \int _A x \cdot dF = \int _A \gamma \cdot \sen \theta \cdot x \cdot y \cdot dA[/tex3]
Ou seja:
[tex3]x_R = \frac{\int _A x \cdot y \cdot dA}{y_c \cdot A}[/tex3]
As expressões para os centros de pressão ainda poderiam ser simplificadas para:
[tex3]\boxed{y_R = \frac{I_{xc}}{y_c \cdot A} + y_c}[/tex3]
[tex3]\boxed{x_R = \frac{I_{xyc}}{y_c \cdot A} + x_c}[/tex3]
Referências:
BRUNETTI, Franco. "
Mecânica dos Fluídos". 2º Edição, revisada - São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2008. Capítulo 2. Página 30. Disponível em <
http://www.unimep.br/~nalmeida/Mecanica ... te%201.pdf>. Acesso em 31 de Maio de 2019.