Isso que você quer é a integral em C?
Se for, vamos verificar se o campo [tex3]\vec{F}(x,y)[/tex3]
é um campo conservativo encontrando sua função potencial:
Seja [tex3]f(x,y)[/tex3]
tal que [tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3]
e [tex3]{\partial f \over \partial y}=e^{-x}[/tex3]
. Temos:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3]
[tex3]\int{\partial f\over \partial x}dx=\int(1-ye^{-x})dx[/tex3]
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+g(y)[/tex3]
[tex3]{\partial f\over \partial y}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]e^{-x}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]0=g'(y)[/tex3]
[tex3]\int0dy=\int g'(y)dy[/tex3]
[tex3]C=g(y)[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+C[/tex3]
Como conseguimos encontrar uma função potencial, então o campo é conservativo. Assim, podemos utilizar o seguinte resultado:
Se [tex3]\vec{F}(x,y)[/tex3]
é um campo conservativo em uma região [tex3]R[/tex3]
do espaço e [tex3]C[/tex3]
é uma curva contínua em partes em [tex3]R[/tex3]
com início em [tex3](x_0,y_0)[/tex3]
e final em [tex3](x_f,y_f)[/tex3]
, então [tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(x_f,y_f)-f(x_0,y_0)[/tex3]
, onde [tex3]f(x,y)[/tex3]
é a função potencial de [tex3]\vec{F}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\vec{F}[/tex3]
é conservativo, logo:
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(x_f,y_f)-f(x_0,y_0)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(1,2)-f(0,1)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=1+2e^{-1}+C-\[0+1\cdot e^{-0}+C\][/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=2e^{-1}[/tex3]