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Passo algébrico na resolução de um limite
Enviado: 28 Set 2019, 22:49
por amadeus
Na resolução do seguinte limite:
[tex3]\lim x\rightarrow-\infty (x+\sqrt{x^{2}+2x})[/tex3]
O Symbolab mostra este passo algébrico que eu não entendi:
[tex3]x-\sqrt{x^{2}+2x}=x+x\sqrt{1+\frac{2}{x}}[/tex3]
Não deveria ser [tex3]x-\sqrt{x^{2}+2x}=x-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}[/tex3]
?
Re: Passo algébrico na resolução de um limite
Enviado: 29 Set 2019, 11:26
por Cardoso1979
Observe
Uma solução:
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}(x+\sqrt{x^2+2x})=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{(x+\sqrt{x^2+2x}).(x-\sqrt{x^2+2x)}}{x-\sqrt{x^2+2x}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^2-\sqrt{(x^2+2x)^2}}{x-\sqrt{x^2+2x}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^2-x^2-2x}{x-\sqrt{x^2+2x}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-2x}{x-\sqrt{x^2+2x}}=[/tex3]
Para este tipo de limite ( x→ - ∞ ) , você terá que usar a seguinte idéia:
x = [tex3]\sqrt{x^2}[/tex3]
Então,
x = - [tex3]\sqrt{x^2}[/tex3]
Assim,
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2.\left(1+\frac{2}{x}\right)}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-2x}{x+x.\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-2\cancel{x}}{\cancel{x}.(1+\sqrt{1+\frac{2}{x}})}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\frac{-2}{1+\sqrt{1+0}}=-\frac{2}{1+1}=-\frac{2}{2}=-1[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow -\infty}(x+\sqrt{x^2+2x})=-1[/tex3]
.
Bons estudos!