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Se [tex3]E=(\vec{v}, \vec{u}, \vec{w})[/tex3]

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[tex3]E=(\vec{v}, \vec{u}, \vec{w})[/tex3]

é base. que condições deve satisfazer m para que [tex3]F=(\vec{u}+\vec{v}, m\vec{v}-\vec{w}, \vec{u}+m\vec{w})[/tex3]

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[tex3]F=(\vec{u}+\vec{v}, m\vec{v}-\vec{w}, \vec{u}+m\vec{w})[/tex3]

seja base? Escreva a matriz de mudança de E para F.
Eu fiz assim:
[tex3]F\ é\ base\ \Leftrightarrow a(\vec{u}+\vec{v})+b(m\vec{w}-\vec{w})+c(\vec{u}+m\vec{w})=0\ admita\ apenas\ solução\ trivial[/tex3]

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[tex3]F\ é\ base\ \Leftrightarrow a(\vec{u}+\vec{v})+b(m\vec{w}-\vec{w})+c(\vec{u}+m\vec{w})=0\ admita\ apenas\ solução\ trivial[/tex3]

Fazendo que a determinante do sistema formado por [tex3]a, b[/tex3]

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[tex3]a, b[/tex3]

e [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

seja [tex3]\neq0[/tex3]

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[tex3]\neq0[/tex3]

, cheguei em [tex3]m\neq 1[/tex3]

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[tex3]m\neq 1[/tex3]

O que fazer para chegar em [tex3]m\neq -1[/tex3]

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[tex3]m\neq -1[/tex3]

também?

Observe

Solução

Para que F seja base o determinante formado pelos coeficientes das triplas tem que ser diferente de zero ( 0 ), então;

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 1 && 0 \\
0 &&& m && -1\\
1 &&& 0 && m
\end{array} \right]≠0[/tex3]

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[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 1 && 0 \\
0 &&& m && -1\\
1 &&& 0 && m
\end{array} \right]≠0[/tex3]

Calculando o determinante acima, obtemos:

m² - 1 ≠ 0

m ≠ ± 1

Logo, m ≠ 1 e m ≠ - 1.


Para escrever a matriz de mudança de E para F, procedemos da seguinte maneira:

Escrevendo na forma

[tex3]\vec{F}_{1}=1.\vec{v}+1.\vec{u}+0.\vec{w}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}_{1}=1.\vec{v}+1.\vec{u}+0.\vec{w}[/tex3]

[tex3]\vec{F}_{2}=m.\vec{v}+0.\vec{u}-1.\vec{w}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}_{2}=m.\vec{v}+0.\vec{u}-1.\vec{w}[/tex3]

[tex3]\vec{F}_{3}=0.\vec{v}+1.\vec{u}+m.\vec{w}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}_{3}=0.\vec{v}+1.\vec{u}+m.\vec{w}[/tex3]

Vemos que

[tex3]M_{F}=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& m && 0 \\
1 &&& 0 && 1\\
0 &&& -1 && m
\end{array} \right][/tex3]

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[tex3]M_{F}=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& m && 0 \\
1 &&& 0 && 1\\
0 &&& -1 && m
\end{array} \right][/tex3]

Bons estudos!

Nota

Para que [tex3](\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},\vec{F}_{3})[/tex3]

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[tex3](\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},\vec{F}_{3})[/tex3]

seja base, o vetor tem que ser L.I. , ou seja, o determinante da matriz formado pelos coeficientes de F ,deve ser diferente de zero (0).

Eu fiz que [tex3]m^2\neq 1 \Rightarrow m\neq1[/tex3]

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[tex3]m^2\neq 1 \Rightarrow m\neq1[/tex3]

, cometendo o erro grosseiro de esquecer o [tex3]\pm[/tex3]

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[tex3]\pm[/tex3]

Obrigado mais um vez Cardoso1979!