Dadas as retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
tais que [tex3]r = \{(1,2t,-1-2t);\,t\in \mathbb{R}\}[/tex3]
e [tex3]s:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 2}{4}[/tex3]
com [tex3]z = 1.[/tex3]
O cosseno do menor ângulo formado por [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
é:
a) [tex3]\sqrt{2}/10[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{2}/5[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{2}/2[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{2}/4[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{2}/5[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Retas Tópico resolvido
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jose carlos de almeida
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Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Retas
Editado pela última vez por caju em 11 Jan 2020, 00:31, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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JOSE CARLOS
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caju
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20:28
Re: Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Retas
Olá José,
Vou resolver esta questão utilizando produto escalar, que é:
[tex3]A\odot B=|A|\cdot |B|\cdot \cos(\theta)[/tex3]
Onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre os vetores.
Portanto, primeiramente deveos achar o vetor direção das duas retas. Para isso, vamos passar as duas retas para a forma paramétrica:
primeira reta [tex3]\left\{x=1\\y=2t\\z=1-2t\right.[/tex3]
Portanto, o vetor direção desta reta é [tex3]A=(0, 2, -2)[/tex3] . E teremos [tex3]|A|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt 2[/tex3]
Na segunda reta, vamos chamar o [tex3]\frac{y+2}{4}=s[/tex3] , portanto:
[tex3]y=4s-2[/tex3]
E como [tex3]\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{4}[/tex3] , temos
[tex3]\frac{x-2}{3}=s[/tex3]
[tex3]x=3s+2[/tex3]
Então a segunda reta tem equação paramétrica:
[tex3]\left\{x=2+3s\\y=-2+4s\\z=1\right.[/tex3]
Que tem vetor direção igual a [tex3]B=(3, 4, 0)[/tex3] . E seu módulo será [tex3]|B|=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex3]
Fazendo agora o produto escalar entre A e B:
[tex3](0,2,-2)\cdot(3,4,0)=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]
[tex3]8=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\frac{4}{5\sqrt 2}[/tex3] que, racionalizando, fica:
[tex3]\cos\theta=\frac{2\sqrt 2}{5}[/tex3]
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Vou resolver esta questão utilizando produto escalar, que é:
[tex3]A\odot B=|A|\cdot |B|\cdot \cos(\theta)[/tex3]
Onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre os vetores.
Portanto, primeiramente deveos achar o vetor direção das duas retas. Para isso, vamos passar as duas retas para a forma paramétrica:
primeira reta [tex3]\left\{x=1\\y=2t\\z=1-2t\right.[/tex3]
Portanto, o vetor direção desta reta é [tex3]A=(0, 2, -2)[/tex3] . E teremos [tex3]|A|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt 2[/tex3]
Na segunda reta, vamos chamar o [tex3]\frac{y+2}{4}=s[/tex3] , portanto:
[tex3]y=4s-2[/tex3]
E como [tex3]\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{4}[/tex3] , temos
[tex3]\frac{x-2}{3}=s[/tex3]
[tex3]x=3s+2[/tex3]
Então a segunda reta tem equação paramétrica:
[tex3]\left\{x=2+3s\\y=-2+4s\\z=1\right.[/tex3]
Que tem vetor direção igual a [tex3]B=(3, 4, 0)[/tex3] . E seu módulo será [tex3]|B|=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex3]
Fazendo agora o produto escalar entre A e B:
[tex3](0,2,-2)\cdot(3,4,0)=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]
[tex3]8=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\frac{4}{5\sqrt 2}[/tex3] que, racionalizando, fica:
[tex3]\cos\theta=\frac{2\sqrt 2}{5}[/tex3]
Atenciosamente
Prof. Caju
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Razão: tex --> tex3
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