Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números..
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números, álgebra, geometria e combinatória. A intenção é criar uma maratona para cada área ao longo do tempo.
As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.
1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva de alguma olimpíada.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php.
4) Todas questão deverão ser de olímpiadas, contendo o ano e o país de aplicação.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o fórum Olímpiadas, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
8 ) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.
**Veja como devemos proceder.**
Problema 1
(Questão acompanhado do país e do ano)Escreva a questão
Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1
Descrever a solução
Problema 2
(Questão acompanhado do país e do ano) Escreva a questão.
------------------------------------------------------------------------------
Problema 1
(Estados Unidos 1973) Sejam p,q e r primos distintos, prove que [tex3]\sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q}[/tex3]
e [tex3]\sqrt[3]{r}[/tex3]
não podem ser termos de uma progressão aritmética.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
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Ittalo25
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Set 2020
24
23:03
l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Última edição: caju (24 Set 2020, 23:23). Total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Set 2020
27
00:32
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Questão movida conforme a regra 6: Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números
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Problema 2
(Hong Kong 1990) O número de 6 dígitos [tex3]a1989b [/tex3] é divisível por 72. Determine [tex3]a [/tex3] e [tex3]b [/tex3] .
------------------------------------------------------------------------------
Problema 2
(Hong Kong 1990) O número de 6 dígitos [tex3]a1989b [/tex3] é divisível por 72. Determine [tex3]a [/tex3] e [tex3]b [/tex3] .
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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goncalves3718
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Set 2020
27
15:30
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 2
Como [tex3]72 = 8 \cdot 9[/tex3] , o número de 6 dígitos [tex3]a1989b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e por [tex3]9[/tex3] ao mesmo tempo.
Para ser divisível por [tex3]8[/tex3] , [tex3]89b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e isso só acontece com [tex3]b=6[/tex3] .
Temos então:
[tex3]a19896[/tex3]
Agora temos que satisfazer o critério de divisibilidade por [tex3]9[/tex3] , logo:
[tex3]a+1+9+8+9+6 = 9k \,, k \in \mathbb{N} \implies a + 33 = 9k [/tex3]
O único valor que torna a igualdade satisfeita é [tex3]a= 3[/tex3] .
Portanto [tex3]a=3[/tex3] e [tex3]b=6[/tex3] .
Problema 3
(Austrália 2006) Encontre todos os inteiros positivos [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]1+5^m = n^2[/tex3]
Como [tex3]72 = 8 \cdot 9[/tex3] , o número de 6 dígitos [tex3]a1989b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e por [tex3]9[/tex3] ao mesmo tempo.
Para ser divisível por [tex3]8[/tex3] , [tex3]89b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e isso só acontece com [tex3]b=6[/tex3] .
Temos então:
[tex3]a19896[/tex3]
Agora temos que satisfazer o critério de divisibilidade por [tex3]9[/tex3] , logo:
[tex3]a+1+9+8+9+6 = 9k \,, k \in \mathbb{N} \implies a + 33 = 9k [/tex3]
O único valor que torna a igualdade satisfeita é [tex3]a= 3[/tex3] .
Portanto [tex3]a=3[/tex3] e [tex3]b=6[/tex3] .
Problema 3
(Austrália 2006) Encontre todos os inteiros positivos [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]1+5^m = n^2[/tex3]
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AnthonyC
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Set 2020
27
19:06
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 3
[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]
Primeiramente, demonstrarei o seguinte lema:
Lema 1: Toda potência de [tex3]5[/tex3] maior que 1 pode ser escrita da forma [tex3]20k+5, ~~~ k\in\mathbb{Z}_+[/tex3]
Demonstração:
Utilizando indução, temos:
Tomando [tex3]k=0[/tex3] :
[tex3]5=5[/tex3]
Assim, o caso inicial satisfaz.
[tex3]5^p\cdot5=(20k+5)\cdot5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+25[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+20+5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=20(5k+1)+5[/tex3]
Fazendo [tex3]5k+1=k'[/tex3] :
[tex3]5^{p+1}=20k'+5[/tex3]
Como o caso [tex3]m=p[/tex3] verdadeiro implica [tex3]m=p+1[/tex3] verdadeiro, munido com o caso inicial, provamos o lema.
Substituindo esse resultado na equação original:
[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]
[tex3]1+20k+5=n^2[/tex3]
[tex3]6+20k=n^2[/tex3]
Vamos reduzir a equação módulo 4:
[tex3]6+20k\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]6\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
Como [tex3]n\in\mathbb{Z}_+^*[/tex3] , então este é par ou ímpar. Estudando cada caso:
Problema 4
(Turquia-2009) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] tal que [tex3]p^3-4p+9[/tex3] é um quadrado perfeito.
[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]
Primeiramente, demonstrarei o seguinte lema:
Lema 1: Toda potência de [tex3]5[/tex3] maior que 1 pode ser escrita da forma [tex3]20k+5, ~~~ k\in\mathbb{Z}_+[/tex3]
Demonstração:
Utilizando indução, temos:
- Caso inicial: [tex3]m=1[/tex3]
Tomando [tex3]k=0[/tex3] :
[tex3]5=5[/tex3]
Assim, o caso inicial satisfaz.
- Hipótese de indução: seja a afirmação verdadeira para [tex3]m=p[/tex3]
[tex3]5^p\cdot5=(20k+5)\cdot5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+25[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+20+5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=20(5k+1)+5[/tex3]
Fazendo [tex3]5k+1=k'[/tex3] :
[tex3]5^{p+1}=20k'+5[/tex3]
Como o caso [tex3]m=p[/tex3] verdadeiro implica [tex3]m=p+1[/tex3] verdadeiro, munido com o caso inicial, provamos o lema.
Substituindo esse resultado na equação original:
[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]
[tex3]1+20k+5=n^2[/tex3]
[tex3]6+20k=n^2[/tex3]
Vamos reduzir a equação módulo 4:
[tex3]6+20k\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]6\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
Como [tex3]n\in\mathbb{Z}_+^*[/tex3] , então este é par ou ímpar. Estudando cada caso:
- Se [tex3]n[/tex3]
for par:
Podemos então escrever [tex3]n=2q,~~~~q\in\mathbb{Z}_+^*[/tex3] . Logo:
[tex3]2\equiv (2q)^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv 4q^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv 0(\mod 4)[/tex3]
Então não temos solução neste caso.
- Se [tex3]n[/tex3]
for ímpar:
Podemos então escrever [tex3]n=2r+1,~~~~r\in\mathbb{Z}_+[/tex3] . Logo:
[tex3]2\equiv (2r+1)^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv 4r^2+4r+1(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv 1(\mod 4)[/tex3]
Então não temos solução neste caso.
Problema 4
(Turquia-2009) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] tal que [tex3]p^3-4p+9[/tex3] é um quadrado perfeito.
Última edição: AnthonyC (27 Set 2020, 19:15). Total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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Set 2020
28
00:36
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 4
Se [tex3]p^3-4p+9=x^2[/tex3] , então [tex3]x^2 \equiv 9 \mod(p) [/tex3] , ou seja: [tex3]x = kp\pm 3[/tex3]
[tex3]p^3-4p+9=(kp\pm3)^2[/tex3]
[tex3]p^2-k^2p= \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p| \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p = 2 [/tex3] é solução óbvia, então supondo p ímpar:
[tex3]p| \pm 3k+2[/tex3]
[tex3]p \leq 3k+2[/tex3]
[tex3]\frac{p-2}{3} \leq k[/tex3]
de [tex3]x = kp\pm 3[/tex3] tem-se que [tex3]x \geq kp-3[/tex3]
Ou seja: [tex3]x \geq kp-3 \geq \frac{p\cdot (p-2)}{3}-3[/tex3]
[tex3]x \geq \frac{p^2-2p-9 }{3}[/tex3]
[tex3]p^3-4p+9 \geq \frac{(p^2-2p-9)^2 }{9}[/tex3]
[tex3](p-2) \cdot p \cdot (p^2-11p-36) \leq 0[/tex3]
Como p>2, então:
[tex3]p^2-11p-36 \leq 0[/tex3]
[tex3]p \leq 13[/tex3]
Testando esses poucos casos tem-se que [tex3]p \in \{2,7,11\}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------
Problema 5
(Argentina 1997) Designando x e y por dígitos, achar todos os números naturais de cinco dígitos [tex3]65x1y[/tex3] que são múltiplos de 12.
Se [tex3]p^3-4p+9=x^2[/tex3] , então [tex3]x^2 \equiv 9 \mod(p) [/tex3] , ou seja: [tex3]x = kp\pm 3[/tex3]
[tex3]p^3-4p+9=(kp\pm3)^2[/tex3]
[tex3]p^2-k^2p= \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p| \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p = 2 [/tex3] é solução óbvia, então supondo p ímpar:
[tex3]p| \pm 3k+2[/tex3]
[tex3]p \leq 3k+2[/tex3]
[tex3]\frac{p-2}{3} \leq k[/tex3]
de [tex3]x = kp\pm 3[/tex3] tem-se que [tex3]x \geq kp-3[/tex3]
Ou seja: [tex3]x \geq kp-3 \geq \frac{p\cdot (p-2)}{3}-3[/tex3]
[tex3]x \geq \frac{p^2-2p-9 }{3}[/tex3]
[tex3]p^3-4p+9 \geq \frac{(p^2-2p-9)^2 }{9}[/tex3]
[tex3](p-2) \cdot p \cdot (p^2-11p-36) \leq 0[/tex3]
Como p>2, então:
[tex3]p^2-11p-36 \leq 0[/tex3]
[tex3]p \leq 13[/tex3]
Testando esses poucos casos tem-se que [tex3]p \in \{2,7,11\}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------
Problema 5
(Argentina 1997) Designando x e y por dígitos, achar todos os números naturais de cinco dígitos [tex3]65x1y[/tex3] que são múltiplos de 12.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Set 2020
28
14:17
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 5
Lema: Se [tex3]c|(a+b)[/tex3] e [tex3]c|a[/tex3] , então [tex3]c|b[/tex3] .
[tex3]12|65x1y[/tex3] , ou seja, [tex3]4|65x1y[/tex3] e [tex3]3|65x1y[/tex3] .
[tex3]65x1y=6.10000+5.1000+x.100+(10+y)\rightarrow 100.(6.100+5.10+x)+(10+y)[/tex3]
Como [tex3]4|100.(6.100+5.10+x)[/tex3] , necessariamente, [tex3]4|(10+y)[/tex3]
[tex3]y=(2,6)[/tex3]
E [tex3]3|(12+x+y)[/tex3]
Para [tex3]y=2[/tex3] , [tex3]3|(14+x)\rightarrow x=(1,4,7)[/tex3] . Se [tex3]y=6[/tex3] , [tex3]3|(18+x)\rightarrow x=(0,3,6,9)[/tex3]
Então os números são: [tex3]65112,65412,65712,65016,65316,65616,65916[/tex3]
Problema 6
(Argentina 2016) Seja abcd um dos 9999 números 0001, 0002, 0003, ..., 9998, 9999. Dizemos que abcd é especial se ab−cd e ab+cd são quadrados perfeitos, ab−cd divide ab+cd, e além disso ab+cd divide abcd. Por exemplo, 2016 é especial. Encontrar todos os números abcd especiais.
Nota: Se abcd = 0206 então ab = 02 e cd = 06.
Lema: Se [tex3]c|(a+b)[/tex3] e [tex3]c|a[/tex3] , então [tex3]c|b[/tex3] .
[tex3]12|65x1y[/tex3] , ou seja, [tex3]4|65x1y[/tex3] e [tex3]3|65x1y[/tex3] .
[tex3]65x1y=6.10000+5.1000+x.100+(10+y)\rightarrow 100.(6.100+5.10+x)+(10+y)[/tex3]
Como [tex3]4|100.(6.100+5.10+x)[/tex3] , necessariamente, [tex3]4|(10+y)[/tex3]
[tex3]y=(2,6)[/tex3]
E [tex3]3|(12+x+y)[/tex3]
Para [tex3]y=2[/tex3] , [tex3]3|(14+x)\rightarrow x=(1,4,7)[/tex3] . Se [tex3]y=6[/tex3] , [tex3]3|(18+x)\rightarrow x=(0,3,6,9)[/tex3]
Então os números são: [tex3]65112,65412,65712,65016,65316,65616,65916[/tex3]
Problema 6
(Argentina 2016) Seja abcd um dos 9999 números 0001, 0002, 0003, ..., 9998, 9999. Dizemos que abcd é especial se ab−cd e ab+cd são quadrados perfeitos, ab−cd divide ab+cd, e além disso ab+cd divide abcd. Por exemplo, 2016 é especial. Encontrar todos os números abcd especiais.
Nota: Se abcd = 0206 então ab = 02 e cd = 06.
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Set 2020
28
19:18
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 6
[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} = 10a+b+10c+d = y^2 \space \space \space \space (I) \\
\overline{ab}-\overline{cd} = 10a+b-10c-d = x^2 \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Agora, se [tex3]x^{2}[/tex3] divide [tex3]y^{2}[/tex3] e [tex3]y^{2}[/tex3] divide [tex3]\overline{abcd}[/tex3] , então:
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d [/tex3]
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d +x^2 [/tex3]
[tex3]x^2 | 1010a+101b [/tex3]
[tex3]x^2 | 10a+b [/tex3]
Por consequência também: [tex3]x^2 | 10c+d [/tex3] , fazendo [tex3]10a+b = kx^2 [/tex3] e [tex3]10c+d = qx^2 [/tex3] , temos que:
[tex3]10a+b-10c-d = x^2 [/tex3]
[tex3]kx^2-qx^2 = x^2 [/tex3]
[tex3]\boxed{ k= q+1} [/tex3]
Fazendo: [tex3](I)+(II) [/tex3]
[tex3]2\cdot (10a+b) = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]2kx^2 = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]x^2 \cdot (2k-1) =y^2 [/tex3]
Ou seja, [tex3]y^2 \in \{x^2,9x^2,25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3]
1° caso: [tex3]y^2 = x^2 [/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d = y^2[/tex3]
[tex3]kx^2+qx^2 = x^2[/tex3]
[tex3]q = 0\rightarrow c = 0\rightarrow d = 0[/tex3]
[tex3]k = 1\rightarrow 10a+b = x^2 = y^2[/tex3]
Então as soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0100, 0400,0900,1600,2500,3600,4900,6400,8100\}} [/tex3]
2° caso: [tex3]y^2 = 9x^2 [/tex3]
[tex3]kx^2+qx^2 = 9x^2[/tex3]
[tex3]q = 4[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10a+b=5x^2 \\
10c+d=4x^2
\end{cases}[/tex3]
Fácil ver que o x só vai até 4.
As soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0504, 2016,4536,8064\}} [/tex3]
A partir daqui nenhum [tex3]y^2 \in \{25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3] serve. Como são apenas números de 4 dígitos, essa lista pode ser testada manualmente.
------------------------------------------------------------------------------
Problema 7
(Noruega-1997) Se adicionarmos 329 ao número de três dígitos [tex3]\overline{2x4}[/tex3] obtemos [tex3]\overline{5y3}[/tex3] . Se [tex3]\overline{5y3}[/tex3] é divisível por três, qual o maior valor possível para x?
[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} = 10a+b+10c+d = y^2 \space \space \space \space (I) \\
\overline{ab}-\overline{cd} = 10a+b-10c-d = x^2 \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Agora, se [tex3]x^{2}[/tex3] divide [tex3]y^{2}[/tex3] e [tex3]y^{2}[/tex3] divide [tex3]\overline{abcd}[/tex3] , então:
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d [/tex3]
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d +x^2 [/tex3]
[tex3]x^2 | 1010a+101b [/tex3]
[tex3]x^2 | 10a+b [/tex3]
Por consequência também: [tex3]x^2 | 10c+d [/tex3] , fazendo [tex3]10a+b = kx^2 [/tex3] e [tex3]10c+d = qx^2 [/tex3] , temos que:
[tex3]10a+b-10c-d = x^2 [/tex3]
[tex3]kx^2-qx^2 = x^2 [/tex3]
[tex3]\boxed{ k= q+1} [/tex3]
Fazendo: [tex3](I)+(II) [/tex3]
[tex3]2\cdot (10a+b) = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]2kx^2 = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]x^2 \cdot (2k-1) =y^2 [/tex3]
Ou seja, [tex3]y^2 \in \{x^2,9x^2,25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3]
1° caso: [tex3]y^2 = x^2 [/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d = y^2[/tex3]
[tex3]kx^2+qx^2 = x^2[/tex3]
[tex3]q = 0\rightarrow c = 0\rightarrow d = 0[/tex3]
[tex3]k = 1\rightarrow 10a+b = x^2 = y^2[/tex3]
Então as soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0100, 0400,0900,1600,2500,3600,4900,6400,8100\}} [/tex3]
2° caso: [tex3]y^2 = 9x^2 [/tex3]
[tex3]kx^2+qx^2 = 9x^2[/tex3]
[tex3]q = 4[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10a+b=5x^2 \\
10c+d=4x^2
\end{cases}[/tex3]
Fácil ver que o x só vai até 4.
As soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0504, 2016,4536,8064\}} [/tex3]
A partir daqui nenhum [tex3]y^2 \in \{25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3] serve. Como são apenas números de 4 dígitos, essa lista pode ser testada manualmente.
------------------------------------------------------------------------------
Problema 7
(Noruega-1997) Se adicionarmos 329 ao número de três dígitos [tex3]\overline{2x4}[/tex3] obtemos [tex3]\overline{5y3}[/tex3] . Se [tex3]\overline{5y3}[/tex3] é divisível por três, qual o maior valor possível para x?
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Babi123
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Set 2020
28
21:14
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 7
[tex3](2\cdot100+10x+4)+329=5\cdot100+10y+3\\
30+10x=10y\\
\boxed{x=y-3} \ (I)[/tex3]
[tex3]3 | \overline{5y3}\implies y\in \{1,4,7\}[/tex3]
Logo, o maior valor possível para [tex3]x[/tex3] ocorre quando [tex3]y=7[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] , ou seja:
[tex3]x=7-3\\
\boxed{x=4}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------------
Problema 8
(Brasil - 2003)
Determine o menor número primo positivo que divide [tex3]x^2+ 5x + 23[/tex3] para algum inteiro [tex3]x[/tex3] .
[tex3](2\cdot100+10x+4)+329=5\cdot100+10y+3\\
30+10x=10y\\
\boxed{x=y-3} \ (I)[/tex3]
[tex3]3 | \overline{5y3}\implies y\in \{1,4,7\}[/tex3]
Logo, o maior valor possível para [tex3]x[/tex3] ocorre quando [tex3]y=7[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] , ou seja:
[tex3]x=7-3\\
\boxed{x=4}[/tex3]
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Problema 8
(Brasil - 2003)
Determine o menor número primo positivo que divide [tex3]x^2+ 5x + 23[/tex3] para algum inteiro [tex3]x[/tex3] .
Última edição: Babi123 (28 Set 2020, 21:25). Total de 3 vezes.
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AnthonyC
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Set 2020
28
23:36
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 8
Podemos ver que se [tex3]x=23[/tex3] , temos:
[tex3]23^2+5\cdot23+23[/tex3]
Assim, [tex3]23|x^2+5x+23[/tex3]
Como 23 é primo, então temos um primo que divide nossa equação para algum [tex3]x[/tex3] . Para garantirmos que este é o menor primo, basta checar os primos menores, [tex3]\{2,3,5,7,11,13,17,19\}[/tex3] .
Podemos também ver que se [tex3]x=-2\implies (-2)^2+5\cdot(-2)+23=17[/tex3] . Então 17 é o menor candidato até agora. Analisando os outros:
Problema 9
(Chile-2011) Encontro todos os naturais [tex3]a,b,c[/tex3] , com [tex3]1\leq a\leq b\leq c[/tex3] , tal que [tex3]{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}={3\over 4}[/tex3] .
Podemos ver que se [tex3]x=23[/tex3] , temos:
[tex3]23^2+5\cdot23+23[/tex3]
Assim, [tex3]23|x^2+5x+23[/tex3]
Como 23 é primo, então temos um primo que divide nossa equação para algum [tex3]x[/tex3] . Para garantirmos que este é o menor primo, basta checar os primos menores, [tex3]\{2,3,5,7,11,13,17,19\}[/tex3] .
Podemos também ver que se [tex3]x=-2\implies (-2)^2+5\cdot(-2)+23=17[/tex3] . Então 17 é o menor candidato até agora. Analisando os outros:
- [tex3]p=2[/tex3] não serve, pois [tex3]x^2+5x[/tex3] é sempre par, somado com 23 será sempre ímpar, sendo assim, não divisível por 2;
- [tex3]p=3[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 0(\mod3)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv2(\mod 3)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 1(\mod3)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv2(\mod 3)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 2(\mod3)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv1(\mod 3)[/tex3]
- [tex3]p=5[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 0(\mod5)\implies 0^2+23\equiv3(\mod 5)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 1(\mod5)\implies 1^2+23\equiv4(\mod 5)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 2(\mod5)\implies 2^2+23\equiv2(\mod 5)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 3(\mod5)\implies 3^2+23\equiv2(\mod 5)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 4(\mod5)\implies 4^2+23\equiv4(\mod 5)[/tex3]
- [tex3]p=7[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 0(\mod7)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv2(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 1(\mod7)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv1(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 2(\mod7)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv2(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 3(\mod7)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv5(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 4(\mod7)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv3(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 5(\mod7)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv3(\mod 7)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 6(\mod7)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv5(\mod 7)[/tex3]
- [tex3]p=11[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 0(\mod11)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv1(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 1(\mod11)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv7(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 2(\mod11)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv4(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 3(\mod11)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv3(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 4(\mod11)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv4(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 5(\mod11)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv7(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 6(\mod11)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv1(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 7(\mod11)\implies 7^2+5\cdot7+23\equiv8(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 8(\mod11)\implies 8^2+5\cdot8+23\equiv6(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 9(\mod11)\implies 9^2+5\cdot9+23\equiv6(\mod 11)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 10(\mod11)\implies 10^2+5\cdot10+23\equiv8(\mod 11)[/tex3]
- [tex3]p=13[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 0(\mod13)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv10(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 1(\mod13)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv3(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 2(\mod13)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv11(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 3(\mod13)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv8(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 4(\mod13)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv7(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 5(\mod13)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv8(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 6(\mod13)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv11(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 7(\mod13)\implies 7^2+5\cdot7+23\equiv3(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 8(\mod13)\implies 8^2+5\cdot8+23\equiv10(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 9(\mod13)\implies 9^2+5\cdot9+23\equiv6(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 10(\mod13)\implies 10^2+5\cdot10+23\equiv4(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 11(\mod13)\implies 11^2+5\cdot11+23\equiv4(\mod 13)[/tex3]
- Se [tex3]x\equiv 12(\mod13)\implies 13^2+5\cdot12+23\equiv6(\mod 13)[/tex3]
Problema 9
(Chile-2011) Encontro todos os naturais [tex3]a,b,c[/tex3] , com [tex3]1\leq a\leq b\leq c[/tex3] , tal que [tex3]{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}={3\over 4}[/tex3] .
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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Ittalo25
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Set 2020
29
22:32
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 9
Se [tex3]a \geq 5 \rightarrow \frac{1}{a} \leq \frac{1}{5}[/tex3]
E portanto: [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{5} < \frac{3}{4}[/tex3]
Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então [tex3]\frac{1}{a} =1 >\frac{3}{4}[/tex3]
Portanto [tex3]a\in \{2,3,4\}[/tex3]
1° caso: [tex3]a = 2 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 9 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{9} < \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \leq 4 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq\frac{2}{4} > \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b = 5\rightarrow c = 20 [/tex3]
Se [tex3]b = 6\rightarrow c = 12 [/tex3]
Se [tex3]b = 7 [/tex3] não dá solução
Se [tex3]b = 8\rightarrow c = 8 [/tex3]
2° caso: [tex3]a = 3 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 12 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{12} < \frac{5}{12}[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 4\rightarrow c = 6[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 3\rightarrow c = 12[/tex3]
3° caso: [tex3]a = 4 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 5[/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{2}{5} < \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b = 4\rightarrow c = 4 [/tex3]
Se [tex3]b = 5[/tex3] não há solução.
Portanto as soluções são: [tex3]\boxed{ (a,b,c) = \{ (2,5,20),(2,6,12),(2,8,8),(3,4,6),(3,3,12),(4,4,4) } [/tex3]
Problema 10
(Vietnã - 1980) Determine todos os pares (x,y) de inteiros positivos tais que [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y} = 1980[/tex3]
Se [tex3]a \geq 5 \rightarrow \frac{1}{a} \leq \frac{1}{5}[/tex3]
E portanto: [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{5} < \frac{3}{4}[/tex3]
Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então [tex3]\frac{1}{a} =1 >\frac{3}{4}[/tex3]
Portanto [tex3]a\in \{2,3,4\}[/tex3]
1° caso: [tex3]a = 2 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 9 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{9} < \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \leq 4 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq\frac{2}{4} > \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b = 5\rightarrow c = 20 [/tex3]
Se [tex3]b = 6\rightarrow c = 12 [/tex3]
Se [tex3]b = 7 [/tex3] não dá solução
Se [tex3]b = 8\rightarrow c = 8 [/tex3]
2° caso: [tex3]a = 3 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 12 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{12} < \frac{5}{12}[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 4\rightarrow c = 6[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 3\rightarrow c = 12[/tex3]
3° caso: [tex3]a = 4 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 5[/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{2}{5} < \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b = 4\rightarrow c = 4 [/tex3]
Se [tex3]b = 5[/tex3] não há solução.
Portanto as soluções são: [tex3]\boxed{ (a,b,c) = \{ (2,5,20),(2,6,12),(2,8,8),(3,4,6),(3,3,12),(4,4,4) } [/tex3]
Problema 10
(Vietnã - 1980) Determine todos os pares (x,y) de inteiros positivos tais que [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y} = 1980[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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