Solução do Problema 62
Vamos quebrar a fração em dois números complexos, [tex3]Z[/tex3]
o numerador, e [tex3]Q[/tex3]
o denominador.
[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}[/tex3]
[tex3]Z=\sqrt{3}+i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Z|=2}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Z)=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]
[tex3]Q=3i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Q|=3}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Q)=\frac{\pi}{2}+2k'\pi,\,k'\in\mathbb{Z}}[/tex3]
Agora podemos escrever a fração do enunciado na notação de Euler para números complexos:
[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}=\frac{\left[2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)}\right]^n}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2^n\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}[/tex3]
Podemos efetuar a divisão dos números com base [tex3]e[/tex3]
:
[tex3]\frac{2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2}{3}\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}[/tex3]
Agora, para esse número ser um número real, o argumento do número complexo que está ali deve ser [tex3]k''\pi,\,\,k''\in\mathbb{Z}[/tex3]
. Efetuando a igualdade:
[tex3]\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)=k''\pi[/tex3]
[tex3]\frac{n\pi}{6}+2kn\pi-\frac{\pi}{2}-2k'\pi=k''\pi[/tex3]
[tex3]\frac{n\pi}{6}={\color{red}k''\pi+2k'\pi-2kn\pi}+\frac{\pi}{2}[/tex3]
Note que o termo marcado em vermelho acima, nada mais é do que um número inteiro de meias voltas, ou seja, podemos substituir por [tex3]{\color{red}k''''\pi},\,\,\,k''''\in\mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]\frac{n\pi}{6}=k''''\pi+\frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]n=6k''''+3\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{n=3(k+1),\,\,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]
Problema 63 (Sugestão do colega
LucasPinafi, )
(ITA 2009) Suponha a equação algébrica, [tex3]\boxed{x^{11} + \sum_{n=1}^{10} a_n x^n + a_0 = 0}[/tex3]
tenha coeficientes reais [tex3]a_0,\,a_1,\, \dots ,\,a_{10}[/tex3]
tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma [tex3]\beta + i \gamma_n[/tex3]
, em que [tex3]\beta,\,\gamma_n \in \mathbb{R}[/tex3]
e os [tex3]\gamma_n[/tex3]
, [tex3]n = 1,\,2,\,\dots,\,11[/tex3]
formam uma progressão aritmética de razão real [tex3]\gamma \neq 0[/tex3]
. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma desla é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas.
I. Se [tex3]\beta = 0[/tex3]
, então [tex3]a_0 = 0[/tex3]
.
II. Se [tex3]a_{10} = 0[/tex3]
, então [tex3]\beta = 0[/tex3]
III. Se [tex3]\beta = 0[/tex3]
, então [tex3]a_1 = 0[/tex3]
)
