Re: III Maratona de Matemática IME/ITA
Enviado: 06 Out 2013, 13:47
Solução do problema 70
Podemos escrever a desigualdade da seguinte maneira:
[tex3]\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+...+\frac{2^n}{3^n}+...\right)\cdot|f(x)|\leq\frac{9}{4}[/tex3]
Pela soma de P.G. infinitas [tex3]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{1-\frac{2}{3}}}\right)\cdot|f(x)|\leq \frac{9}{4}[/tex3]
[tex3]\rightarrow |f(x)|\leq3\,\,\, \rightarrow\,\,\, 0\leq \log(x) \leq 6[/tex3]
[tex3]10^0\leq x \leq 10^6[/tex3]
------------------------------------------------------------
Problema 71
(IME 2010) Considere o sistema:
[tex3]\begin{cases}
xy+x-y=5 \\
x^3y^2 -x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6
\end{cases}[/tex3]
onde x e y são números inteiros. O valor de [tex3]x^3+y^2+x+y[/tex3] é:
a) 14 b) 18 c) 20 d) 32 e) 38
e) 38
Podemos escrever a desigualdade da seguinte maneira:
[tex3]\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+...+\frac{2^n}{3^n}+...\right)\cdot|f(x)|\leq\frac{9}{4}[/tex3]
Pela soma de P.G. infinitas [tex3]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{1-\frac{2}{3}}}\right)\cdot|f(x)|\leq \frac{9}{4}[/tex3]
[tex3]\rightarrow |f(x)|\leq3\,\,\, \rightarrow\,\,\, 0\leq \log(x) \leq 6[/tex3]
[tex3]10^0\leq x \leq 10^6[/tex3]
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Problema 71
(IME 2010) Considere o sistema:
[tex3]\begin{cases}
xy+x-y=5 \\
x^3y^2 -x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6
\end{cases}[/tex3]
onde x e y são números inteiros. O valor de [tex3]x^3+y^2+x+y[/tex3] é:
a) 14 b) 18 c) 20 d) 32 e) 38
Resposta
e) 38