Ensino Fundamental ⇒ Perímetro do triângulo Tópico resolvido

[Liliana]

Na figura abaixo DE é paralelo à BC e contém o incentro do triângulo ABC. Se AB = 10 cm e AC = 14 cm, calcule o perímetro do triângulo ADE.

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Resposta

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24 cm.

[MatheusBorges]

Screenshot_2018-03-28-15-23-11.png (113.13 KiB) Exibido 8980 vezes

O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Também é o ponto que encontra as bissetrizes do mesmo. Esse segmento de vermelho é o raio. Veja também que a cada lado que o raio toca no círculo é formado um ângulo reto (por que o triânguo é circunscrito!).
Veja que assim sai facilmente esses triângulo congruentes pelo caso especial de triângulos retângulos (reto, hipotenusa e cato igual).
Veja que encontramos que B+C =x+y , e repare que a bissetriz dos ângulos B e C cruzam uma reta paralel (por isso dos ângulos alternos internos) logo surge os triângulos isósceles. e assim concluímos que a base do [tex3]\triangle ADE=x+y[/tex3]

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[tex3]\triangle ADE=x+y[/tex3]

e o seu perímetro é [tex3]x+y+z+\overline{AB}+\overline{AC}=24cm[/tex3]

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[tex3]x+y+z+\overline{AB}+\overline{AC}=24cm[/tex3]

[Liliana]

MafIl10,
Eu tento entender esse exercício há muuuito tempo
Eu entro aqui, tento entender a resolução, não consigo, espero alguns dias e entro de novo, as vezes podia ser o cansaço... Mas ainda não consegui entender :/
Se não for pedir muito, tem como você explicar de um modo um pouco mais claro?
Não entendi sobre esses ângulos beta e alfa (só a parte deles serem iguais por estar dividido pela bissetriz), e nem o restante...

[caju]

Olá Liliana,

Veja uma discussão desse problema aqui: viewtopic.php?f=3&t=63813

De repente te ajuda no entendimento. Se não, traga suas dúvidas aqui que continuamos a discussão

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorges]

Seja O centro da circunferência inscrita no triângulo. O é o encontro das bissetrizes correto? Façamos H como a projeção ortogonal do ponto O em [tex3]\overline{BC}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}[/tex3]

Chamando de [tex3]\alpha= O\hat B H\equiv D\hat BO [/tex3]

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[tex3]\alpha= O\hat B H\equiv D\hat BO [/tex3]

Duas retas paralelas formam ângulos alternos internos congruentes
[tex3]\alpha= OB\hat H\equiv D\hat BO \equiv D\hat OB [/tex3]

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[tex3]\alpha= OB\hat H\equiv D\hat BO \equiv D\hat OB [/tex3]

Seja [tex3]\beta= O\hat C H[/tex3]

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[tex3]\beta= O\hat C H[/tex3]

, analogamente vem que:
[tex3]\beta= O\hat C H\equiv C \hat OE \equiv O\hat CE [/tex3]

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[tex3]\beta= O\hat C H\equiv C \hat OE \equiv O\hat CE [/tex3]

Disso sai que os [tex3]\triangle BDO\cap \triangle COE[/tex3]

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[tex3]\triangle BDO\cap \triangle COE[/tex3]

são isósceles (1).
Agora chamemos de [tex3]\overline{AD}=a\\
\overline{BD}=x=\overline{DO} (1)\\
\overline{CE}=y=\overline{OE}(1)\\
\overline{AE}=b[/tex3]

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[tex3]\overline{AD}=a\\
\overline{BD}=x=\overline{DO} (1)\\
\overline{CE}=y=\overline{OE}(1)\\
\overline{AE}=b[/tex3]

Queremos o 2p do [tex3]\triangle ADE[/tex3]

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[tex3]\triangle ADE[/tex3]

, ou seja:[tex3]\overline{AD}+\overline{DO}+\overline{OE}+\overline{EA}\\
a+x+y+b=2p=10+14=24cm[/tex3]

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[tex3]\overline{AD}+\overline{DO}+\overline{OE}+\overline{EA}\\
a+x+y+b=2p=10+14=24cm[/tex3]

.

[Liliana]

MUITO obrigada!!!
Agora saiu