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(Rufino) Função máximo inteiro

Enviado: Seg 07 Set, 2020 16:43
por Zhadnyy
Sejam x e y números reais, mostre que:

[tex3][2x]+[2y]\geq [x]+[y]+[x+y][/tex3]

OBS: Considere [ ] como a função máximo inteiro. Ou seja, [5,20] = 5

Re: (Rufino) Função máximo inteiro

Enviado: Seg 07 Set, 2020 17:52
por Zhadnyy
Slader:
"Se o valor da parte fracionária de x ou y for maior que 0,5, o lado direito se torna maior do que o lado esquerdo em 1.
Caso contrário, os lados esquerdo e direito fornecem respostas iguais."

Não vejo isso como uma demonstração.

Re: (Rufino) Função máximo inteiro

Enviado: Seg 28 Set, 2020 18:02
por AnthonyC
Vamos reescrever os números:
  • [tex3]x=m+\delta[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] é um inteiro e [tex3]0\leq\delta\lt 1[/tex3]
  • [tex3]y=n+\varepsilon[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é um inteiro e [tex3]0\leq\varepsilon\lt 1[/tex3]


Sendo assim, podemos ver que:
[tex3]\lfloor x\rfloor=m[/tex3] e [tex3]\lfloor y\rfloor=n[/tex3]

Vamos agora estudar os valores [tex3]\delta[/tex3] e [tex3]\varepsilon[/tex3] em casos:
  • Se [tex3]0\leq \delta,\varepsilon<{1\over2}[/tex3]:
    Somando os dois, temos:
    [tex3]0\leq \delta+\varepsilon<{1}[/tex3]
    [tex3]m+n\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {1}[/tex3]
    [tex3]m+n\leq x+y< m+n+ {1}[/tex3]
    Assim, temos que [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n[/tex3]. Logo, o lado direito da nossa inequação fica:
    [tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n[/tex3]

    Também temos que:
    [tex3]0\leq\delta<{1\over2}[/tex3]
    [tex3]m\leq m+\delta< m+{1\over2}[/tex3]
    [tex3]m\leq x< m+{1\over2}[/tex3]
    [tex3]2m\leq 2x< 2m+1[/tex3]
    Assim, [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m[/tex3] e, analogamente, [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n[/tex3]. Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n[/tex3]
    Então, neste caso, temos:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
  • Se [tex3]{1\over2}\leq \delta,\varepsilon<{1}[/tex3]:
    Somando os dois, temos:
    [tex3]{1}\leq \delta+\varepsilon<{2}[/tex3]
    [tex3]m+n+1\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {2}[/tex3]
    [tex3]m+n+1\leq x+y< m+n+ {2}[/tex3]
    Assim, temos que [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n+1[/tex3]. Logo, o lado direito da nossa inequação fica:
    [tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n+1[/tex3]

    Também temos que:
    [tex3]{1\over2}\leq\delta<{1}[/tex3]
    [tex3]m+{1\over2}\leq m+\delta< m+{1}[/tex3]
    [tex3]m+{1\over2}\leq x< m+{1}[/tex3]
    [tex3]2m+1\leq 2x< 2m+2[/tex3]
    Assim, [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m+1[/tex3] e, analogamente, [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n+1[/tex3]. Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n+2[/tex3]
    Então, neste caso, temos:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \gt\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]

  • Se [tex3]{0}\leq \delta<{1\over2}[/tex3] e [tex3]{1\over2}\leq \varepsilon<{1}[/tex3]:
    Temos que:
    [tex3]{0}\leq\delta<{1\over2}[/tex3]
    Como vimos antes, isso resulta em [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m[/tex3].

    [tex3]{1\over2}\leq\varepsilon<{1}[/tex3]
    Como já vimos, isso resulta em [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n+1[/tex3]
    Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n+1[/tex3]

    Somando os dois, temos:
    [tex3]{1\over2}\leq \delta+\varepsilon<{3\over2}[/tex3]
    [tex3]m+n+{1\over2}\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {3\over2}[/tex3]
    [tex3]m+n < m+n+{1\over2}\leq x+y< m+n+ {3\over2}< m+n+2[/tex3]
    [tex3]m+n < x+y< m+n+2[/tex3]
    Assim, temos duas possibilidades [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n[/tex3] ou [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n+1[/tex3]. Então, o lado direito da nossa inequação fica:
    [tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n[/tex3]
    ou
    [tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n+1[/tex3]


    Então temos:
    [tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \geq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
Podemos unir todos os casos em uma única inequação:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \geq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]