Planck escreveu: ↑22 Jun 2019, 16:00
Parece ter uma solução por multiplicadores de Lagrange também.
Temos que [tex3]f(x, \ y, \ z) = 7x+5y+10z [/tex3]
. O gradiente dessa função é dado por [tex3]\nabla f(x, \ y, \ z) = \langle7, 5, 10 \rangle[/tex3]
. As restrições podem ser definidas por: [tex3]g(x) = 3x+y+2z - 3[/tex3]
e [tex3]h(x)= -x + 2y+4z - 5[/tex3]
, e seus gradientes são dados por:
[tex3]\begin{cases} \nabla g(x, \ y, \ z) = \langle 3, 1, 2 \rangle \\ \\ \nabla h(x, \ y, \ z) = \langle -1, 2, 4 \rangle \end{cases} [/tex3]
Desse modo, podemos dizer que:
[tex3]\nabla f(x, \ y, \ z) = \lambda \cdot \nabla g(x, \ y, \ z) + \mu \cdot \nabla h(x, \ y, \ z)[/tex3]
Assim, ficamos com:
[tex3]\langle7, 5, 10 \rangle = \lambda \cdot \langle 3, 1, 2 \rangle + \mu\cdot \langle -1, 2, 4 \rangle \, \, \implies \, \,
\begin {cases}
7 + 3\lambda - \mu \\
5 + \lambda + 2\mu \\
10 + 2 \lambda + 4\mu \\
3x+y+2z - 3 \\
-x + 2y+4z - 5
\end{cases} = 0[/tex3]
Isolando [tex3]\mu[/tex3]
na primeira equação e substituindo na segunda equação, obtemos que [tex3]\lambda = -\frac{19}{7}, \ \mu = - \frac{8}{7}[/tex3]
. Multiplicando a quarta equação por [tex3]-2[/tex3]
e somando na quinta equação, obtemos que:
[tex3]\begin {cases} -6x - 2y - 4z - 6 = 0 \\ -x + 2y + 4z -5 =0 \end{cases} \, \, \implies \, \, x= \frac{1}{7}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]x[/tex3]
no sistema, obtemos que:
[tex3]\langle7, 5, 10 \rangle = \lambda \cdot \langle 3, 1, 2 \rangle + \mu\cdot \langle -1, 2, 4 \rangle \, \, \implies \, \,
\begin {cases}
7 + 3\lambda - \mu \\
5 + \lambda + 2\mu \\
10 + 2 \lambda + 4\mu \\
-\frac{18}{7}+y+2z \\
-\frac{36}{7} + 2y+4z
\end{cases} = 0[/tex3]
Da quarta equação, podemos dizer que:
[tex3]y = \frac{18}{7} -2z \, \, \iff \, \, y = \alpha, \ \ z = \frac{9}{7} - \frac{\alpha}{2} [/tex3]
Substituindo os valores na equação original:
[tex3]7 \cdot \frac {1}{7} + 5 \cdot \alpha + 10\cdot \left ( \frac{9}{7} - \frac{\alpha}{2}\right) \, = \, { \color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} \frac{97}{7}_{{⠀}_{⠀}}^{{⠀}^{⠀}} } }[/tex3]