Ensino Médio ⇒ Classificação de Funções IEZZI

[Auto Excluído (ID:20100)]

Nas funções classifique em
I) injetora
II) sobrejetora
III) bijetora
IV) não é injetora e nem sobrejetora

f) [tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

, [tex3]p(x)=\begin{cases}
2x\rightarrow x\in \mathbb{Q} \\
[x]\rightarrow x\in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]p(x)=\begin{cases}
2x\rightarrow x\in \mathbb{Q} \\
[x]\rightarrow x\in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})
\end{cases}[/tex3]

*[x]= função máximo inteiro

Resposta

---

II) sobrejetora

Não entendi a parte de montar o conjunto imagem da função.

[Auto Excluído (ID:20100)]

Alguém poderia me explicar pq a função máximo inteiro é sobrejetora??

[caju]

Olá amandaperrea,

Vou responder sua questão inicial. Acho que sua segunda dúvida será respondida.

Primeiramente, para uma relação ser considerada uma função, existem duas condições:
1) Todos elementos do domínio devem estar relacionados com algum elemento do contradomínio;
2) Cada elemento do domínio só pode se relacionar com um elemento do contradomínio.

Como o enunciado falou que [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

já é uma função, então já satisfaz essas duas condições.

Agora, para ser injetora ou sobrejetora, tem que satisfazer condições semelhantes a essas de cima ali.

INJETORA: para uma função ser injetora, cada elemento do contradomínio só pode se relacionar com 1 elemento do domínio (veja que essa condição é bem parecida com a (2) acima

Vamos testar se [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

é injetora. Veja que [tex3]p(\sqrt 5)=2[/tex3]

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[tex3]p(\sqrt 5)=2[/tex3]

e [tex3]p(\sqrt 6)=2[/tex3]

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[tex3]p(\sqrt 6)=2[/tex3]

. Ou seja, temos um elemento do contradomínio (elemento [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

) que se relaciona com dois elementos distintos do domínio ([tex3]\sqrt 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt 2[/tex3]

e [tex3]\sqrt 3[/tex3]

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[tex3]\sqrt 3[/tex3]

). Ou seja, não pode ser injetora.

SOBREJETORA: para uma função ser sobrejetora, todos elementos do contradomínio devem ter alguma relação no domínio (veja que essa condição é bem parecida com o que falei em (1) acima. Trocando em miúdos, uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem for igual ao seu conjunto contradomínio.

No exercício, o contradomínio é o conjunto [tex3]\mathbb R[/tex3]

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[tex3]\mathbb R[/tex3]

(indicado na parte da direita de [tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

).

Mas, veja que nem todos elementos de [tex3]\mathbb R[/tex3]

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[tex3]\mathbb R[/tex3]

são utilizados na função. Um exemplo é o [tex3]\sqrt 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt 2[/tex3]

. Não há nenhum valor de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

que você coloque em [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

que resulte [tex3]p(x)=\sqrt 2[/tex3]

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[tex3]p(x)=\sqrt 2[/tex3]

.

Sendo assim, já que encontramos um elemento do contradomínio ([tex3]\sqrt 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt 2[/tex3]

, que é um número real) que não tem relação no domínio (ou seja, a imagem não é igual ao contradomínio), então a função não pode ser sobrejetora.

Resposta final, IV. Não é injetora e nem sobrejetora.

---

Para acharmos o gabarito informado, ou seja, para a função [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

ser sobrejetora, deveríamos ter um contradomínio diferente. Algo como [tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}[/tex3]

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[tex3]p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}[/tex3]

já daria certo. Verifique se você copiou a questão corretamente, e se o gabarito está copiado corretamente, também.

Grande abraço,
Prof. Caju