Ensino Médio ⇒ Números Complexos Tópico resolvido

[^keiths_pt]

Determine o módulo e o argumento dos complexos

a) [tex3]\Large\frac{2i-1}{i-2}\large[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large\frac{2i-1}{i-2}\large[/tex3]

b) [tex3]\Large\frac{z}{\overline{z}}\large[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large\frac{z}{\overline{z}}\large[/tex3]

Agradecia toda a ajuda possivel

[caju]

Olá ^keiths_pt,

[tex3]\frac{2i-1}{i-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2i-1}{i-2}[/tex3]

Devemos primeiramente racionalizar:

[tex3]\frac{2i-1}{i-2}\cdot\frac{i+2}{i+2}=\frac{-2+4i-i-2}{-1-4}=\frac{-4+3i}{-5}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2i-1}{i-2}\cdot\frac{i+2}{i+2}=\frac{-2+4i-i-2}{-1-4}=\frac{-4+3i}{-5}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i[/tex3]

Agora é só aplicar a fórmula do módulo de um número complexo:

módulo = [tex3]\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2}=1[/tex3]

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na segunda, digamos que o número complexo é [tex3]Z=a+bi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Z=a+bi[/tex3]

, portanto, a fração pedida é:

[tex3]\frac{\,\,Z\,\,}{\overline Z}=\frac{a+bi}{a-bi}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\,\,Z\,\,}{\overline Z}=\frac{a+bi}{a-bi}[/tex3]

Agora, racionalizamos:

[tex3]\frac{a+bi}{a-bi}\cdot\frac{a+bi}{a+bi}=\frac{a^2+abi+abi-b^2}{a^2+abi-abi+b^2}=\frac{a^2-b^2+2abi}{a^2+b^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+bi}{a-bi}\cdot\frac{a+bi}{a+bi}=\frac{a^2+abi+abi-b^2}{a^2+abi-abi+b^2}=\frac{a^2-b^2+2abi}{a^2+b^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i[/tex3]

Agora é só aplicar a fórmula do módulo:

módulo=[tex3]\sqrt{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{a^4+2a^2b^2+b^4}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt 1 = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{a^4+2a^2b^2+b^4}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt 1 = 1[/tex3]