Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[ilovemath27]

Tenho numa gaveta muitos postais de k tipos diferentes. Quero enviar postais a n amigos.

Supondo que tenho k postais diferentes e quero enviar todos os postais, de quantas maneiras o posso fazer (admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais)?

Alguém me pode ajudar?

[caju]

Olá ilovemath27,

É uma questão bastante difícil.

Vamos pensar da seguinte forma: se fosse 5 postais para 3 amigos! Representando cada postal pela barrinha "|", poderíamos ter várias combinações, como por exemplo:

[tex3]\boxed{|\,\,|\, +\, |\, +\, |\,\, |}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

primeiro amigo recebeu 2 postais, segundo amigo recebeu 1 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais

[tex3]\boxed{|\,\,|\,\,|\,+\,+\,|\,\,|}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

primeiro amigo recebeu 3 postais, segundo amigo recebeu 0 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais

[tex3]\boxed{\,\,+\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,+\,\,}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

primeiro amigo recebeu 0 postal, segundo amigo recebeu 5 postais e terceiro amigo recebeu 0 postal

Veja que podemos ter diversas maneiras de representar as divisões dos postais. A única regra, para este exemplo, é que a soma apresentada tem que ter 5 barrinhas e 2 sinais de soma ("+").

Portanto, para encontrarmos o total de maneiras para este exemplo, basta permutarmos os 7 caracteres (5 barrinhas e 2 sinais de +), e levar em consideração a repetição de 5 barrinhas e repetição de 2 sinais de +. Ficaria assim:

[tex3]P_7^{5,\,2}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_7^{5,\,2}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=21[/tex3]

Agora, se tivermos [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

postais para dividir entre [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

amigos, teríamos que colocar [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

barrinhas e [tex3](n-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-1)[/tex3]

sinais de [tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

. Ficaríamos com:

[tex3]\boxed{\boxed{P_{k+n-1}^{k,\,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{P_{k+n-1}^{k,\,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[ilovemath27]

Muito obrigada pela sua resposta! Ajudou-me imenso e está bem explicada! Valeu!

[314159265]

Acredito que a resposta acima esteja incorreta, pois os postais são diferentes. Não é apenas uma questão de quantos postais cada um recebeu, mas também QUAIS postais.

[caju]

Verdade. Na minha resposta não considerei os postais diferentes.

Com essa consideração fica um pouco mais difícil. Não consegui chegar a um raciocínio...

Fica para os universitários essa

[Angelo12345]

Há [tex3]n^k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n^k[/tex3]

maneiras de enviar esses postais aos n amigos admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais.